Lernzettel: Introduction aux fonctions et leur variation

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et représentations
2. Lecture graphique et antécédents
3. Fonctions affines
4. Taux de variation et monotonie

📖 1. Fonctions et représentations

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction f : Une fonction associe à tout x d’un intervalle I un unique nombre réel y afin de modéliser une liaison entre grandeurs.
• ensemble de définition I : L’ensemble de définition est l’ensemble I des valeurs réelles x autorisées pour la fonction.
• image et antécédent : L’image de x est le nombre f(x) obtenu, et un antécédent de y est une valeur x telle que f(x)=y.

📝 Points essentiels

• Une fonction s’écrit f : I → R et se note f(x)=y avec y image de x et x antécédent de y.
• Une fonction peut être donnée par un tableau, une expression algébrique, un tableau de couples (x ; f(x)) ou par les points du plan (x ; f(x)).
• Pour résoudre une équation ou inéquation par lecture graphique, les solutions lues sur les axes sont souvent des valeurs approchées.

💡 Astuce mémo

Image = sortie f(x) ; antécédent = entrée qui donne la sortie.

📖 2. Lecture graphique et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• lecture graphique : La lecture graphique consiste à utiliser la courbe pour obtenir images et antécédents sans calcul algébrique complet.
• équation f(x)=k : Résoudre f(x)=k revient à trouver les abscisses des points de la courbe dont l’ordonnée vaut k.

📝 Points essentiels

• Pour l’équation 5x - x² = 4, on cherche sur la courbe les points dont l’ordonnée égale 4 pour obtenir les antécédents.
• Pour l’inéquation 5x - x² > 4, on repère les points de la courbe dont l’ordonnée est strictement supérieure à 4 puis on lit les abscisses correspondantes.
• On peut écrire l’ensemble des solutions sous la forme S = {x ∈ ℝ | f(x) > 4} pour une inéquation du type f(x) > 4.

💡 Astuce mémo

Égalité : même ordonnée ; Inégalité : ordonnée au-dessus (ou au-dessous).

📖 3. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction affine : Une fonction affine a la forme f(x)=mx+p sur ℝ, avec m et p réels fixés.
• fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction affine particulière où p=0, donc de la forme f(x)=mx.
• fonction constante : Une fonction constante est une fonction affine particulière où m=0, donc de la forme f(x)=p.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur de la droite représentant f(x)=mx+p est m et l’ordonnée à l’origine est p.
• Si p=0 alors f(x)=mx (fonction linéaire), et si m=0 alors f(x)=p (fonction constante).
• Pour deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) d’une droite y=mx+p, on calcule m = (yB - yA)/(xB - xA) puis on obtient p par substitution dans y=mx+p.

💡 Astuce mémo

m = pente ; p = point d’entrée sur l’axe des ordonnées.

📖 4. Taux de variation et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• taux de variation : Le taux de variation mesure l’évolution moyenne de f entre deux abscisses a et b, via un quotient de variations.
• monotonie : Une fonction est monotone sur un intervalle si elle garde le même sens de variation sur cet intervalle.
• strictement croissante : Une fonction est strictement croissante sur I lorsqu’elle augmente sans jamais s’arrêter sur tout I.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation entre a et b vaut (f(b)-f(a))/(b-a) et correspond à la pente de la droite passant par les points (a ; f(a)) et (b ; f(b)).
• Si le taux de variation entre deux nombres d’un intervalle I est positif, alors f est strictement croissante sur I.
• Si le taux de variation est négatif alors f est strictement décroissante sur I, et s’il est nul alors f est constante sur I.

💡 Astuce mémo

Signe du taux : + monte ; - descend ; 0 plat.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est f(x), tandis qu’un antécédent de y est un x tel que f(x)=y.
2. Lire une équation comme une inéquation : f(x)=k donne une ordonnée égale, alors que f(x)>k impose une ordonnée strictement supérieure.
3. Croire que le fait de calculer un taux de variation entre deux points prouve le sens de variation sur tout l’intervalle.
4. Mélanger les paramètres d’une affine : m est la pente (coefficient directeur) et p est l’ordonnée à l’origine.
5. Confondre linéaire et constante : linéaire impose p=0 (m quelconque), constante impose m=0 (p quelconque).
6. Oublier que la lecture graphique donne souvent des solutions approchées plutôt que des valeurs exactes.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction f sur un intervalle I et préciser ce que sont image de x et antécédent de y.
2. Écrire f : I → R et interpréter la notation f(x)=y pour relier x, f(x) et y.
3. Trouver une image avec une expression algébrique du type f(x)=… en remplaçant x par la valeur demandée.
4. Déterminer un antécédent d’une valeur y0 pour une fonction donnée en résolvant l’équation f(x)=y0.
5. Choisir une méthode de lecture graphique pour une équation f(x)=k en repérant l’ordonnée k sur la courbe.
6. Choisir une méthode de lecture graphique pour une inéquation f(x)>k en repérant la zone où l’ordonnée est strictement au-dessus de k.
7. Reconnaître une fonction affine et écrire f(x)=mx+p en identifiant m (pente) et p (ordonnée à l’origine).
8. Classer une affine en linéaire (p=0) ou constante (m=0) à partir de sa forme.
9. Calculer l’équation d’une droite y=mx+p à partir de deux points en trouvant m puis p.
10. Calculer le taux de variation T entre a et b avec T=(f(b)-f(a))/(b-a).
11. Relier le signe du taux de variation au sens de monotonie : + strictement croissante, - strictement décroissante, 0 constante.