Lernzettel: Introduction aux Fonctions et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Dérivation et tangente
3. Fonction exponentielle
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Produit scalaire
6. Probabilités conditionnelles

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique du trinôme : Forme canonique : l’expression d’un trinôme grâce à une complétion du carré, avec un sommet $S(\alpha;\beta)$.
• Forme factorisée du trinôme : Forme factorisée : écriture du trinôme produit $(x-x_1)(x-x_2)$ quand le discriminant est positif, ou carré double quand il est nul.
• Discriminant : Discriminant : quantité $\Delta=b^2-4ac$ qui pilote le nombre de solutions réelles d’une équation du second degré.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$, la forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Si $\Delta>0$, alors l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, alors il existe une solution double $x_0=\frac{-b}{2a}$ et la forme factorisée devient $a(x-x_0)^2$.
• Si $\Delta<0$, alors il n’y a aucune solution réelle.
• Le signe d’un trinôme est celui de $a$ hors de l’intervalle entre racines, et il est de signe opposé à $a$ entre les racines.

💡 Astuce mémo

Discriminant : $\Delta$ comme “réel” (positif → deux, nul → un double, négatif → aucun).

📖 2. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Taux de variation : quotient $\tau(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ mesurant la variation de $f$ entre $a$ et $a+h$.
• Nombre dérivé : Nombre dérivé : limite du taux $\tau(h)$ quand $h$ tend vers $0$, donnant la pente instantanée en $a$.
• Équation de la tangente : Équation de la tangente : droite passant par $(a,f(a))$ dont la pente vaut $f'(a)$, s’écrivant $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite de $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h\to 0$.
• La tangente au point d’abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Pour les puissances, on utilise $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$ et pour la fonction inverse $\frac{d}{dx}\left(\frac1x\right)=-\frac1{x^2}$.
• Pour la composée $f(ax+b)$, on applique la règle : $\left(f(ax+b)\right)'=a\times f'(ax+b)$.
• Les règles de dérivation à connaître sont : somme, produit, quotient, puissance, et linéarité pour la somme des dérivées.

💡 Astuce mémo

Tangente = pente × déplacement : $f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 3. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Fonction exponentielle : unique fonction vérifiant simultanément $f'=f$ et $f(0)=1$.
• Propriété de croissance : Croissance de l’exponentielle : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Règles de calcul exponentiel : Règles de calcul exponentiel : relations entre produits, quotients et puissances de $e^x$ basées sur l’addition des exposants.

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$, ce qui la caractérise de façon unique.
• Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on a $e^x>0$.
• On a $e^a\times e^b=e^{a+b}$ et $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.
• On a aussi $\frac1{e^a}=e^{-a}$ et $\left(e^a\right)^n=e^{na}$.
• La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Toujours : produit → addition des exposants, quotient → soustraction des exposants.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite arithmétique : suite dont chaque terme s’obtient en ajoutant une constante $r$ au précédent.
• Suite géométrique : Suite géométrique : suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$.
• Variations d’une suite : Variations d’une suite : étude du signe de $u_{n+1}-u_n$ pour déterminer si la suite augmente ou diminue.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, la relation de récurrence est $u_{n+1}=u_n+r$ et la forme explicite est $u_n=u_0+nr$.
• La somme des termes d’une suite arithmétique s’écrit $S=\text{nombre de termes}\times\frac{\text{premier+dernier}}{2}$.
• Pour une suite géométrique, la récurrence est $v_{n+1}=v_n\times q$ et la forme explicite est $v_n=v_0\times q^n$.
• La somme des termes d’une suite géométrique vaut $S=\text{premier}\times\frac{1-q^{\text{nb de termes}}}{1-q}$.
• Si $u_{n+1}-u_n>0$, alors la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r (addition), Géométrique : ×q (multiplication).

📖 5. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire en coordonnées : Produit scalaire en coordonnées : dans un repère, $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$ pour $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$.
• Norme et angle : Expression via norme et angle : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\theta)$ où $\theta$ est l’angle entre les vecteurs.
• Orthogonalité : Orthogonalité : deux vecteurs sont perpendiculaires exactement quand leur produit scalaire vaut $0$.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire s’écrit aussi avec norme et angle : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\theta)$.
• On a l’orthogonalité : $\vec u\cdot\vec v=0$ si et seulement si les vecteurs sont perpendiculaires.
• La formule du projeté orthogonal est donnée par $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH$ avec attention au signe selon le sens.
• L’égalité d’Al-Kashi s’écrit $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\widehat{A})$.
• Le calcul du produit scalaire peut passer par des coordonnées ou par une expression géométrique avec cosinus.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = “projeté en une direction” : il se lit avec  via $\cos(\theta)$.

📖 6. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité conditionnelle : $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$, qui mesure la probabilité de $B$ sachant $A$.
• Partition de l’univers : Partition de l’univers : décomposition de l’événement total en $A$ et $\bar A$ permettant d’exprimer $P(B)$ avec des conditionnelles.
• Indépendance de deux événements : Indépendance : relation $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$ entre deux événements, équivalente à $P_A(B)=P(B)$.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle est définie pour $P(A)>0$ par $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• Si $A$ et $\bar A$ forment une partition, alors $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\bar A)P_{\bar A}(B)$.
• Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$.
• L’indépendance se traduit aussi par $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.
• La formule des probabilités totales relie $P(B)$ aux probabilités de $B$ dans chacun des cas $A$ et $\bar A$.

💡 Astuce mémo

Indépendance : “sachant $A$, ça ne change pas” donc $P_A(B)=P(B)$.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et nature des solutions

Valeur de $\Delta$	Solutions réelles	Forme liée
$\Delta>0$	Deux	$a(x-x_1)(x-x_2)$
$\Delta=0$	Une double	$a(x-x_0)^2$
$\Delta<0$	Aucune	Pas de solution réelle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la valeur de $\alpha$ : c’est $-\frac{b}{2a}$ (pas $\frac{b}{2a}$) dans la forme canonique.
2. Oublier que la tangente utilise $f'(a)$ et passe par $(a,f(a))$, ce qui donne $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
3. Appliquer une règle de signe au discriminant au lieu du discriminant lui-même : c’est $\Delta$ qui décide le nombre de racines.
4. Se tromper de règle de produit/quotient lors des dérivations : le quotient est $(u'v-uv')/v^2$.
5. Inverser les formules exponentielles : produit correspond à $e^{a+b}$, quotient à $e^{a-b}$.
6. Confondre $P_A(B)$ avec $P(B\mid A)$ de façon non cohérente : ici c’est bien $\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
7. Utiliser une somme géométrique comme une somme arithmétique : les expressions diffèrent et la géométrique contient $1-q^{\text{nb termes}}$ sur $1-q$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et interpréter les formes d’un trinôme : développée, canonique avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et factorisée selon le signe de $\Delta$.
2. Savoir calculer $\Delta=b^2-4ac$ puis donner le bon nombre de solutions réelles et leurs expressions selon $\Delta>0$, $\Delta=0$ ou $\Delta<0$.
3. Déterminer le signe d’un trinôme en utilisant la règle : signe de $a$ hors racines et signe opposé à $a$ entre deux racines.
4. Définir le taux de variation $\tau(h)$ et relier le nombre dérivé $f'(a)$ à la limite quand $h\to 0$.
5. Écrire l’équation de la tangente en $x=a$ sous la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
6. Maîtriser la table de dérivation fournie : $x^n$, $\frac1x$, $\sqrt{x}$ et $e^x$.
7. Appliquer les opérations : somme, produit, quotient, puissance, et règle de dérivation de la composée $f(ax+b)$.
8. Rappeler la caractérisation de $e^x$ par $f'=f$ et $f(0)=1$ et en déduire que $e^x>0$ et que $e^x$ est strictement croissante.
9. Calculer des expressions avec exponentielles en utilisant : $e^a e^b$, $e^a/e^b$, $1/e^a$ et $(e^a)^n$.
10. Reconnaître et utiliser les formules des suites arithmétiques : récurrence, forme explicite et somme avec premier et dernier.
11. Reconnaître et utiliser les formules des suites géométriques : récurrence, forme explicite et somme avec $\frac{1-q^{n}}{1-q}$.
12. Étudier les variations d’une suite à partir du signe de $u_{n+1}-u_n$ et conclure croissante/décroissante.
13. Calculer un produit scalaire par coordonnées ($xx'+yy'$) ou via norme et angle ($\|u\|\|v\|\cos\theta$).
14. Utiliser l’orthogonalité : $\vec u\cdot\vec v=0$ équivaut à $\vec u\perp\vec v$.