Lernzettel: Introduction aux fonctions et représentations graphiques

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction et définition
2. Notations et modélisation par fonctions
3. Image et antécédent d’un nombre
4. Courbe représentative d’une fonction
5. Construction graphique par tableau de valeurs
6. Fonctions affines et représentation
7. Fonctions linéaires et proportionnalité
8. Savoir-faire : calculer et construire

📖 1. Notion de fonction et définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque valeur de l’ensemble de départ D une unique valeur réelle, appelée image.
• Domaine de définition D : Le domaine de définition D est l’ensemble des nombres réels pour lesquels la fonction est définie.
• Image f(x) : L’image f(x) est le réel obtenu quand on applique la fonction à la valeur x.
• Antécédent : Un antécédent de b est une valeur a telle que f(a)=b.

📝 Points essentiels

• Une fonction f sur D associe à tout x∈D un unique réel f(x).
• La notation f(x) désigne l’image de x par la fonction.
• L’écriture f(a)=b signifie que b est l’image de a.
• Dans f(a)=b, a est aussi appelé antécédent de b par f.
• On peut définir une fonction par une expression algébrique valable pour tout x de D.
• La modélisation par fonction consiste à relier deux grandeurs en choisissant une variable x.

💡 Astuce mémo

D comme Départ : à chaque x de D correspond une seule image f(x).

📖 2. Notations et modélisation par fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation f : x → f(x) : La notation f : x → f(x) indique que l’on associe à chaque x le réel f(x).
• Modéliser une situation : Modéliser une situation par une fonction consiste à relier deux grandeurs en choisissant une variable x pour l’une d’elles.
• Variable x : La variable x est le nombre choisi pour représenter une grandeur dans la relation fonctionnelle.

📝 Points essentiels

• La notation f : x → f(x) se lit comme une association entre x et son image.
• Modéliser revient à mettre en relation deux grandeurs en choisissant une variable (souvent x).
• Dans l’exemple du carré, si x est le côté, l’aire A(x) vaut x².
• Pour un carré, la relation côté→aire est une fonction définie sur des x positifs.
• La fonction permet d’exprimer comment une grandeur varie quand l’autre change.
• L’aire A(x)=x² illustre une écriture de fonction par formule algébrique.

💡 Astuce mémo

x change → l’autre grandeur suit : la formule donne la “recette” de l’association.

📖 3. Image et antécédent d’un nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : L’image d’un nombre a est le réel f(a) obtenu en remplaçant x par a dans la fonction.
• Antécédent d’un nombre : L’antécédent d’un nombre b est une valeur a telle que f(a)=b.
• Écriture f(a)=b : L’écriture f(a)=b exprime que b est l’image de a et que a est un antécédent de b.

📝 Points essentiels

• Pour calculer l’image, on remplace x par la valeur demandée dans l’expression de f.
• Pour calculer l’antécédent, on cherche la valeur a qui rend f(a) égal au nombre donné.
• Dans l’exemple double, si f(x)=2x alors l’image de 5 est 10.
• Dans l’exemple double, si f(x)=2x alors l’antécédent de 20 est 10.
• Dans l’exemple carré, si f(x)=x² alors l’image de 3 est 9.
• La relation image/antécédent est résumée par f(a)=b.

💡 Astuce mémo

Image : on “calcule” f(a). Antécédent : on “remonte” pour retrouver a.

📖 4. Courbe représentative d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : La courbe représentative d’une fonction est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient y=f(x).
• Point de coordonnées (x ; y) : Un point de la courbe a pour abscisse x et pour ordonnée y, avec y égal à l’image f(x).
• Repère : Le repère (O, I, J) sert à placer les points du graphique avec des abscisses et ordonnées.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction f définie sur D, la courbe est l’ensemble des points M(x;y) tels que y=f(x).
• Sur la courbe, l’ordonnée est l’image de l’abscisse.
• Pour construire un graphique, on peut d’abord dresser un tableau de valeurs.
• Dans l’exemple f(x)=0,5x+3, on calcule f(x) pour plusieurs x choisis.
• On place ensuite les points (x ; f(x)) dans le repère.
• La courbe est composée de points correspondant aux valeurs de x prises dans D.

💡 Astuce mémo

Courbe = points (x ; f(x)) : l’ordonnée “lit” la fonction.

📖 5. Construction graphique par tableau de valeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de valeurs : Un tableau de valeurs liste des abscisses x et leurs images f(x) correspondantes.
• Placer un point : Placer un point consiste à reporter dans le repère les coordonnées (x ; f(x)).
• Abscisse x : L’abscisse x est la valeur choisie pour laquelle on calcule l’image f(x).

📝 Points essentiels

• La construction graphique peut commencer par un tableau de valeurs.
• On choisit plusieurs valeurs de x puis on calcule f(x) pour chacune.
• Pour f(x)=0,5x+3, on obtient par exemple f(0)=3 et f(1)=3,5.
• On place les points (0;3), (1;3,5), (2;4), etc. dans le repère.
• Le graphique se construit en reliant ensuite les points selon le type de fonction (droite pour affines).
• Le tableau sert de pont entre l’expression algébrique et le dessin.

💡 Astuce mémo

Tableau d’abord : x → f(x), puis points : (x ; f(x)).

📖 6. Fonctions affines et représentation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+b avec a et b fixés.
• Coefficient directeur a : Le coefficient directeur a est le nombre fixé qui multiplie x dans une fonction affine f(x)=ax+b.
• Terme constant b : Le terme constant b est le nombre fixé ajouté à ax dans une fonction affine.
• Représentation graphique d’une affine : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b avec a et b réels fixés.
• On peut noter une affine sous la forme f : x → ax+b ou f(x)=ax+b.
• Exemple : “triple augmenté de 5” correspond à f(x)=3x+5.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.
• Le terme b correspond à la valeur obtenue quand x=0 (lecture sur la droite).
• Une affine se reconnaît par la présence de ax et d’un +b.

💡 Astuce mémo

Affine = ax + b : la droite a une pente (a) et un “point de départ” (b).

📖 7. Fonctions linéaires et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax avec a fixé.
• Proportionnalité : La proportionnalité décrit une situation où une grandeur est obtenue en multipliant l’autre par un même facteur.
• Cas particulier affine : Une fonction linéaire est un cas particulier d’une fonction affine où le terme constant vaut 0.
• Droite passant par l’origine : La représentation d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire s’écrit f(x)=ax avec a fixé.
• Une fonction linéaire est un cas particulier d’une affine avec b=0.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.
• Une fonction linéaire modélise une situation de proportionnalité.
• Exemple : “double” correspond à f(x)=2x.
• Pour une linéaire, f(0)=0, ce qui explique le passage par l’origine.

💡 Astuce mémo

Linéaire = ax : pas de +b, donc la droite passe par (0;0).

📖 8. Savoir-faire : calculer et construire

🔑 Notions clés & Définitions

• Calculer l’image : Calculer l’image consiste à déterminer f(a) à partir de l’expression de la fonction.
• Trouver un antécédent : Trouver un antécédent consiste à déterminer a tel que f(a)=b.
• Lire sur un graphique : Lire sur un graphique consiste à déterminer image ou antécédent à partir des points de la courbe.
• Construire une représentation : Construire une représentation consiste à placer les points correspondant à y=f(x) puis à tracer la forme attendue.

📝 Points essentiels

• Savoir calculer l’image et l’antécédent à partir d’une écriture algébrique de f.
• Savoir trouver l’image et l’antécédent à partir d’un graphique de f.
• Savoir construire la représentation graphique à partir de l’expression algébrique.
• Savoir reconnaître une fonction linéaire ou affine à partir de sa forme.
• Une affine se reconnaît à la présence de ax+b avec b éventuellement non nul.
• Une linéaire se reconnaît à la forme ax (b=0) et à la droite passant par l’origine.

💡 Astuce mémo

Algèbre → calculer ; Graphique → lire ; Forme → reconnaître (affine/linéaire).

📊 Tableaux de synthèse

Affine vs linéaire

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : f(a)=b donne b image de a, et a antécédent de b.
2. Croire qu’une fonction linéaire peut avoir un terme +b : en linéaire, b=0.
3. Penser que la courbe est “la droite” pour toute fonction : ici, seules les affines/linéaires sont associées à une droite.
4. Lire l’ordonnée comme l’abscisse sur un graphique : sur la courbe, y correspond à f(x).
5. Oublier de calculer f(x) pour chaque x du tableau avant de placer les points.

✅ Checklist Examen

1. Définir une fonction sur un ensemble D et expliquer ce que signifie f(x).
2. Calculer une image f(a) à partir d’une expression algébrique.
3. Trouver un antécédent a d’un nombre b en résolvant f(a)=b à partir de l’expression.
4. Lire sur un graphique l’image d’une abscisse donnée.
5. Lire sur un graphique l’antécédent d’une ordonnée donnée.
6. Construire un tableau de valeurs puis placer les points (x ; f(x)).
7. Tracer la représentation d’une fonction affine en reconnaissant une droite.
8. Tracer/identifier une fonction linéaire en vérifiant la forme ax et le passage par l’origine.
9. Reconnaître rapidement une fonction affine ou linéaire à partir de son écriture.