Lernzettel: Introduction aux fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Fonctions linéaires
2. Représentation graphique linéaire
3. Coefficient directeur
4. Pourcentages et proportionnalité
5. Fonctions affines
6. Représentation graphique affine
7. Déterminer une fonction affine

📖 1. Fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction de la forme f(x)=ax où a est un nombre fixé et seul x varie.
• Coefficient de la fonction linéaire : Le coefficient de la fonction linéaire est le nombre fixe a qui multiplie chaque antécédent pour obtenir son image.
• Lien image antécédent : Le lien entre image et antécédent pour une fonction linéaire suit toujours la relation Image = Coefficient × Antécédent.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=ax, quand x varie alors f(x) varie par multiplication par le même coefficient a à chaque fois.
• L’ensemble des images est proportionnel à l’ensemble des antécédents avec un coefficient égal à a.
• Exemple : pour f(x)=4x, on obtient f(2)=8, f(2,5)=10 et f(-9)=-36.

📖 2. Représentation graphique linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère : Un repère est un plan avec deux axes gradués : l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées.
• Origine du repère : L’origine du repère est le point (0 ; 0), intersection des deux axes.
• Représentation graphique d’une fonction : La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points dont les coordonnées sont (x ; f(x)).

📝 Points essentiels

• La courbe d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.
• Réciproquement, une droite passant par l’origine représente une fonction linéaire.
• Méthode : calculer un couple (c ; f(c)) puis tracer la droite passant par (0 ; 0) et (c ; f(c)).

📖 3. Coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est la valeur $a$ qui apparaît quand on écrit la fonction linéaire sous la forme f(x)=ax.
• Pente d’une droite : La pente est le coefficient directeur qui décrit la direction de la droite.
• Ordre de croissance et signe : Le signe du coefficient directeur indique si la droite monte (positif) ou descend (négatif) quand on va de gauche à droite.

📝 Points essentiels

• Si A(xA ; yA) est un point de la droite différent de l’origine, alors le coefficient directeur vaut $a=\dfrac{y_A}{x_A}$.
• Une droite qui croît de gauche à droite a un coefficient directeur positif.
• Une droite qui décroît de gauche à droite a un coefficient directeur négatif.
• Exemple : une droite dont le rapport image/antécédent vaut $1,5$ correspond à f(x)=1,5x.
• Exemple : si $6\times a_2=-3$, alors $a_2=-0,5$ et la fonction est g(x)=-0,5x.

📖 4. Pourcentages et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation de p % : Augmenter Q de p % revient à multiplier Q par $(1+p/100)$.
• Diminution de p % : Diminuer Q de p % revient à multiplier Q par $(1-p/100)$.
• Modélisation par une fonction linéaire : Une variation de p % se modélise par une fonction linéaire car c’est une situation de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• Une augmentation de p % de Q se modélise par la relation Image = Q×(1+p/100).
• Une diminution de p % de Q se modélise par la relation Image = Q×(1-p/100).
• Exemple : 50 € augmentés de 15 % donnent $50\times1,15=57,5$ €.
• Pour une augmentation de 15 %, on obtient une fonction linéaire du type $g(x)=1,15x$.

📖 5. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=ax+b où a et b sont fixés et seul x varie.
• Coefficients d’une fonction affine : Les coefficients d’une fonction affine sont les nombres a et b qui restent constants.
• Fonction constante : Une fonction affine avec a=0 est une fonction constante égale à b.
• Lien entre affine et linéaire : Une fonction affine avec b=0 se réduit à une fonction linéaire de la forme f(x)=ax.

📝 Points essentiels

• Si a=0 alors, pour tout x, f(x)=b et la fonction est constante.
• Si b=0 alors, pour tout x, f(x)=ax et la fonction est linéaire.
• Exemple : f(x)=7x+2,5 est affine de coefficients 7 et 2,5.
• Exemple : g(x)=-12x est affine de coefficients -12 et 0.
• Exemple : h(x)=-1/4 est affine de coefficients 0 et -1/4.

📖 6. Représentation graphique affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une fonction affine : La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dans un repère.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur de f(0), c’est-à-dire la coordonnée sur l’axe des ordonnées quand x=0.
• Coefficient directeur d’une fonction affine : Le coefficient directeur d’une fonction affine est le coefficient a qui fixe la pente de la droite.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine est représentée par une droite, qui ne passe pas forcément par l’origine du repère.
• Réciproquement, si une fonction est représentée par une droite, alors elle est affine.
• Méthode : choisir deux valeurs d’x (d puis e), calculer (d ; f(d)) et (e ; f(e)), puis tracer la droite par ces deux points.
• Pour f(x)=ax+b, on a f(0)=b : l’ordonnée à l’origine vaut donc b.

📖 7. Déterminer une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminer a : Déterminer a consiste à calculer le coefficient directeur à partir de deux points de la droite.
• Déterminer b : Déterminer b consiste à lire la valeur de f(0), donc l’ordonnée à l’origine sur la droite.
• Formules du coefficient directeur : Le coefficient directeur a s’obtient par un quotient de différences des ordonnées et des abscisses entre deux points.

📝 Points essentiels

• Pour deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB), on calcule $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ (ou une formule équivalente avec les signes).
• Une fois a trouvé, on obtient b en se plaçant à x=0 puis en lisant l’ordonnée correspondante.
• Exemple : pour A(2 ; 1) et B(3 ; 3), on obtient $a=\dfrac{3-1}{3-2}=2$.
• Dans l’exemple, b est donné par la lecture : b=-3, donc la fonction est f(x)=2x-3.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction linéaire et affine : une linéaire est de la forme ax, alors qu’une affine est de la forme ax+b.
2. Croire que toute droite passe par l’origine : une représentation affine est une droite qui ne passe pas forcément par (0 ; 0).
3. Oublier que l’ordonnée à l’origine correspond à f(0), donc b dans f(x)=ax+b.
4. Prendre le mauvais rapport pour le coefficient directeur : il s’obtient à partir d’un point (xA ; yA) via $a=\dfrac{y_A}{x_A}$ pour une droite passant par l’origine.
5. Se tromper de signe sur les pourcentages : augmentation multiplie par $(1+p/100)$ et diminution par $(1-p/100)$.
6. Confondre proportionnalité et additivité : pourcentage de p % correspond à une multiplication, pas à un ajout de p %.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la forme correcte d’une fonction linéaire f(x)=ax et donner le rôle du coefficient a.
2. Relier image et antécédent pour une fonction linéaire : Image = Coefficient × Antécédent.
3. Déduire la droite représentative d’une fonction linéaire et vérifier qu’elle passe par l’origine.
4. Construire un tracé de fonction linéaire à partir d’un couple (c ; f(c)) et de l’origine.
5. Calculer un coefficient directeur à partir d’un point (xA ; yA) d’une droite passant par l’origine.
6. Déterminer le signe du coefficient directeur à partir de la tendance de la droite (croît ou décroît).
7. Modéliser une augmentation de p % : multiplier par $(1+p/100)$.
8. Modéliser une diminution de p % : multiplier par $(1-p/100)$.
9. Écrire la forme correcte d’une fonction affine f(x)=ax+b et distinguer les rôles de a et b.
10. Reconnaître les cas particuliers : a=0 donne une constante et b=0 donne une fonction linéaire.
11. Traduire la représentation graphique d’une fonction affine en identifiant droite, pente et ordonnée à l’origine.
12. Déterminer une fonction affine à partir de deux points : calculer a puis obtenir b via la valeur en x=0.
13. Présenter la fonction finale sous la forme f(x)=ax+b en utilisant les valeurs calculées ou lues.