Lernzettel: Introduction aux fonctions quadratiques

📋 Plan du Cours

1. Fonctions polynômes du second degré
2. Forme canonique et forme factorisée
3. Variations et parabole

📖 1. Fonctions polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction polynomiale dont l’expression développée est de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Coefficients réels : Paramètres $a,b,c$ d’une fonction polynôme du second degré qui appartiennent à $\mathbb{R}$ et vérifient $a\neq0$.
• Exemple du second degré : Expression qui peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme du second degré a pour forme développée $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\neq0$.
• Tout polynôme du second degré admet une écriture canonique de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$.
• On a toujours $f(\alpha)=\beta$ dans l’écriture canonique.
• Les expressions du type $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ (avec $a\neq0$ et $x_1,x_2\in\mathbb{R}$) sont aussi des fonctions du second degré.
• $-2x^2+4x-5$ est bien une fonction du second degré alors que $(-5)^2-3x+2$ n’en est pas une.

💡 Astuce mémo

Degré 2 ⇔ présence de $x^2$ avec un coefficient non nul ($a\neq0$).

📖 2. Forme canonique et forme factorisée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture d’un second degré sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ qui met en évidence le sommet.
• Sommet : Point associé à la forme canonique, de coordonnées $(\alpha,\beta)$ pour une fonction du second degré.
• Forme factorisée : Écriture d’un second degré sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq0$.

📝 Points essentiels

• Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on obtient $f(\alpha)=\beta$.
• L’écriture $a(x-x_1)(x-x_2)$ correspond à un second degré lorsque $a, x_1, x_2$ sont réels et $a\neq0$.
• Dans la forme canonique, la valeur de $\alpha$ correspond à la position du sommet en abscisse et $\beta$ à sa valeur en ordonnée.
• La forme factorisée permet d’identifier deux abscisses particulières $x_1$ et $x_2$ via leurs rôles dans $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Canonique : $f(x)=a(\,x-\alpha\,)^2+\beta$ → le sommet est $(\alpha,\beta)$.

📖 3. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet $S(\alpha;\beta)$ : Point $S$ où se situe l’extrémum de la parabole, avec abscisse $\alpha$ et ordonnée $\beta$.
• Axe de symétrie : Droite verticale d’équation $x=\alpha$ qui partage la parabole en deux parties symétriques.
• Parabole : Courbe du second degré dont la forme et les variations dépendent du signe du coefficient $a$.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, $f$ est décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$, et $\beta$ est le minimum atteint en $\alpha$.
• Si $a<0$, $f$ est croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$, et $\beta$ est le maximum atteint en $\alpha$.
• La courbe représentative est une parabole de sommet $S(\alpha;\beta)$ et l’axe de symétrie est la droite $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $a>0$ → creux (minimum en $\alpha$), $a<0$ → cap (maximum en $\alpha$).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le critère du degré 2 : une expression sans terme en $x^2$ (par exemple $(-5)^2-3x+2$) n’est pas du second degré.
2. Oublier que $a\neq0$ est indispensable : si $a=0$, l’expression ne définit plus une fonction polynôme du second degré.
3. Se tromper sur le sens de variations : pour $a>0$ on a décroissance puis croissance, alors que pour $a<0$ c’est l’inverse.
4. Mélanger les paramètres : dans la forme canonique, $\alpha$ est l’abscisse du sommet et $\beta$ sa valeur, donc $f(\alpha)=\beta$.
5. Croire que l’axe de symétrie dépend de $a$ : il est toujours $x=\alpha$.
6. Penser que le sommet n’est qu’un point de la parabole sans lien avec la fonction : il correspond aux coordonnées issues de la forme canonique.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une fonction polynôme du second degré à partir de $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
2. Savoir écrire la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ et en déduire que $f(\alpha)=\beta$.
3. Savoir reconnaître une forme factorisée de la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\neq0$ et $x_1,x_2\in\mathbb{R}$.
4. Donner les variations quand $a>0$ : décroissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
5. Donner les variations quand $a<0$ : croissante sur $]-\infty;\alpha]$ puis décroissante sur $[\alpha;+\infty[$.
6. Indiquer l’extrémum correspondant : $\beta$ est le minimum si $a>0$ et le maximum si $a<0$, atteint en $\alpha$.
7. Décrire la parabole : courbe représentative de sommet $S(\alpha;\beta)$.
8. Donner l’axe de symétrie de la parabole : droite $x=\alpha$.
9. Savoir juger des exemples : reconnaître que $-2x^2+4x-5$ est du second degré et que $(-5)^2-3x+2$ n’en est pas.