Lernzettel: Introduction aux lois de probabilité et génération aléatoire

📋 Plan du Cours

1. Bernoulli et binomiale
2. Générateur discret
3. Méthode de l'inverse
4. Exponentielle et gamma
5. Processus de Poisson
6. Génération normale

📖 1. Bernoulli et binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Bernoulli distribution : Loi de Bernoulli : une variable aléatoire ne prend que 0 ou 1, avec probabilité p d’être égale à 1.
• paramètre p : Le paramètre p d’une loi de Bernoulli est la probabilité d’obtenir la valeur 1.
• Binomial distribution : Loi binomiale : variable comptant le nombre de succès sur N essais indépendants, avec probabilité de succès p par essai.

📝 Points essentiels

• Si $U\sim\mathcal U[0,1]$ et $X=1$ si $U<p$, alors $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
• Pour simuler n valeurs Bernoulli, on construit une fonction R nommée Bernoulli(n,p) avec n le nombre de valeurs et p le paramètre.
• Un générateur de binomiales doit prendre pour entrée N (nombre de valeurs) et les paramètres (n,p) via une fonction Binomial(N,n,p).

💡 Astuce mémo

P pour Probabilité de 1 : comparer U à p décide 1 sinon 0.

📖 2. Générateur discret

🔑 Notions clés & Définitions

• DiscreteGenerator : Fonction R DiscreteGenerator(N,p) : elle simule N variables prenant des valeurs 1 à n selon des probabilités p=(p1,…,pn).
• CDF discrète : Loi discrète construite par tranches d’intervalles $[p1+…+p_{k-1},\,p1+…+pk)$ pour choisir la valeur k.
• Probabilités p=(p1,…,pn) : Suite de paramètres p1 à pn dans ]0,1[ servant à définir les seuils cumulés qui déterminent la valeur simulée.

📝 Points essentiels

• Avec $U\sim\mathcal U[0,1]$, la variable définie par seuils cumulés $p1,\,p1+p2,\,…,p1+…+pn-1$ prend la valeur k si $p1+…+p_{k-1}\le U<p1+…+pk$.
• La variable X ainsi construite suit la distribution discrète où $P(X=k)=pk$ pour $k=1,…,n$.
• On simule cette loi via une fonction R DiscreteGenerator(N,p) où N est le nombre de valeurs et p=(p1,…,pn).

💡 Astuce mémo

Cumulées : chaque valeur correspond à une tranche de U entre deux sommes partielles.

📖 3. Méthode de l'inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• CDF F : Fonction de répartition F : fonction croissante utilisée pour transformer une uniforme en variable avec la loi désirée.
• fonction inverse $F^{-1}$ : Inverse de F : application servant à obtenir X à partir d’une uniforme via $X=F^{-1}(U)$.
• $U\sim\mathcal U[0,1]$ : Variable uniforme sur [0,1] utilisée comme source de hasard pour la méthode de l’inverse.

📝 Points essentiels

• Si F est une CDF croissante et $U\sim\mathcal U[0,1]$, alors $X=F^{-1}(U)$ vérifie $X\sim_d F$.
• La méthode fournit un algorithme de simulation : tirer U uniforme puis calculer $X=F^{-1}(U)$ pour obtenir la loi de F.
• Une fonction de simulation exponentielle est demandée sous le nom Exponential(N,λ) avec N le nombre de valeurs et $\lambda>0$ le paramètre.

💡 Astuce mémo

Inverse = formule directe : uniforme $U$ puis $F^{-1}$.

📖 4. Exponentielle et gamma

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponential distribution E(λ) : Loi exponentielle : loi de référence notée E(λ) pour des variables indépendantes identiquement distribuées.
• Gamma distribution Γ(n,λ) : Loi gamma : famille de distributions notée Γ(n,λ) utilisée ici pour la somme de variables exponentielles.
• Somme de variables exponentielles : Somme de $n$ variables indépendantes de même loi exponentielle, qui devient une loi gamma.

📝 Points essentiels

• La somme de n variables indépendantes de loi E(λ) suit une loi gamma de paramètres (n,λ), notée Γ(n,λ).
• Pour simuler des gamma, une fonction R est demandée : Gamma(N,n,λ) où N est le nombre de valeurs et (n,λ) sont les paramètres.
• La simulation exponentielle doit produire des valeurs selon la loi E(λ) via une fonction nommée Exponential(N,λ).

💡 Astuce mémo

Exponentielle + indépendance + somme de n → Gamma(n,λ).

📖 5. Processus de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Poisson distribution : Loi de comptage : distribution des nombres d’événements sur un intervalle de temps fixé.
• Temps $T_n$ : Somme cumulée $T_n=X_1+…+X_n$ des temps inter-arrivées exponentiels.
• Variable N de comptage : Compteur défini par $N=k \Leftrightarrow T_k\le 1 < T_{k+1}$.

📝 Points essentiels

• Si les $X_i$ sont iid exponentielles de paramètre $\lambda>0$, alors N défini par $T_k\le 1<T_{k+1}$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
• On demande un algorithme et une fonction R Poisson(n,λ) pour générer des variables de loi de Poisson, avec n nombre de valeurs simulées.
• Le paramètre $\lambda$ correspond au taux des arrivées dans la période unitaire utilisée pour définir l’événement $Tk\le 1<Tk+1$.

💡 Astuce mémo

Inter-arrivées exponentielles + seuil de temps 1 → compteur Poisson(λ).

📖 6. Génération normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Box-Muller : Méthode de génération : à partir de deux uniformes indépendantes, on construit deux variables normales indépendantes via une transformation trigonométrique.
• $U_1$ et $U_2$ uniformes : Deux variables indépendantes et uniformes sur [0,1] fournissant les ingrédients de base de la génération normale.
• Standard normal : Loi normale centrée réduite : distribution standard atteinte par X et Y dans la construction demandée.

📝 Points essentiels

• Avec $U_1,U_2$ indépendantes uniformes sur [0,1], poser $X=\sqrt{-2\ln U_1}\cos(2\pi U_2)$ et $Y=\sqrt{-2\ln U_1}\sin(2\pi U_2)$ rend X et Y indépendantes.
• La construction Box-Muller impose que X et Y suivent toutes deux la loi normale standard.
• On demande une fonction R Normal(n,μ,σ) pour générer des normales à partir de paramètres μ et σ, avec n le nombre de valeurs.

💡 Astuce mémo

Cos et Sin partagent le même rayon $\sqrt{-2\ln U_1}$ : deux normales indépendantes.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le rôle de p en Bernoulli (probabilité de 1) avec un paramètre de taille d’échantillon.
2. Construire le générateur discret avec des intervalles mal ordonnés, ce qui échange les probabilités pk.
3. Utiliser la méthode de l’inverse avec une F non croissante, ce qui invalide $X=F^{-1}(U)\sim_d F$.
4. Penser que Γ(n,λ) correspond à la somme d’exponentielles avec paramètres différents : le texte impose la même loi E(λ) pour les n variables.
5. Mélanger la variable N (sur le temps 1) avec une simple valeur fixée k : N est défini par le test $T_k\le 1<T_{k+1}$.
6. Se tromper dans les formules Box-Muller (cos/sin ou angles $2\pi U_2$), ce qui casse la normalité standard demandée.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer la valeur de X simulée à partir d’une uniforme U et vérifier que c’est une loi de Bernoulli de paramètre p.
2. Écrire le principe de la simulation Bernoulli(n,p) : n valeurs à partir du paramètre p.
3. Construire un générateur binomial via la fonction Binomial(N,n,p) avec N nombre de valeurs et (n,p) paramètres de la loi.
4. Définir la variable discrète X par tranches de U avec seuils cumulés p1,…,p1+…+p_{n-1}.
5. Énoncer la loi de X dans le générateur discret : $P(X=k)=p_k$ pour k=1,…,n.
6. Décrire la méthode de l’inverse pour générer une loi de répartition F croissante via $X=F^{-1}(U)$.
7. Relier l’exponentielle E(λ) à la loi gamma : la somme de n exponentielles iid E(λ) suit Γ(n,λ).
8. Utiliser les noms imposés pour les fonctions : Exponential(N,λ) puis Gamma(N,n,λ).
9. Définir les temps $T_n=X_1+…+X_n$ puis la variable de comptage N par $N=k \Leftrightarrow T_k\le 1<T_{k+1}$.
10. Conclure que N suit une loi de Poisson de paramètre λ et donner le nom de la fonction de simulation Poisson(n,λ).
11. Construire X et Y à partir de $U_1,U_2$ uniformes via les formules avec $\sqrt{-2\ln U_1}$, cos et sin.
12. Conclure que X et Y sont indépendantes et standard normales, puis donner le nom Normal(n,μ,σ) pour la simulation des normales à paramètres (μ,σ).