Lernzettel: Introduction aux Nombres et Intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Nombres irrationnels et réels
3. Intervalles ouverts et fermés
4. Intervalles infinis et notations
5. Union et intersection d’intervalles
6. Encadrements et amplitude
7. Distance et valeur absolue
8. Propriétés de la valeur absolue
9. Notations mathématiques essentielles
10. Repères historiques des nombres

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls, noté $\mathbb{N}$.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs, négatifs et nuls, noté $\mathbb{Z}$.
• Nombres décimaux : Ensemble des nombres qui s’écrivent comme un quotient d’un entier relatif par une puissance de 10, noté $\mathbb{D}$.
• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui s’écrivent comme un quotient de deux entiers relatifs avec un dénominateur non nul, noté $\mathbb{Q}$.
• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, noté $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• $\mathbb{N}$ est infini et contient tous les entiers positifs ou nuls.
• $\mathbb{Z}$ contient $\mathbb{N}$ et leurs opposés, donc inclut les entiers négatifs.
• Tout nombre décimal est aussi rationnel, car il s’écrit comme un quotient d’entiers avec dénominateur non nul.
• Tout nombre rationnel est aussi réel, car les réels sont les abscisses sur la droite graduée.
• On a la chaîne d’inclusions $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.
• Un nombre irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel (donc ni entier, ni décimal, ni rationnel).

💡 Astuce mémo

Inclusions en cascade : N → Z → D → Q → R (de plus en plus de nombres).

📖 2. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel.
• Nombre réel : Nombre associé à une abscisse sur une droite graduée, appartenant à $\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• Les nombres $\sqrt{2}$ et $\pi$ ne sont ni entiers, ni décimaux, ni rationnels.
• Dire qu’un nombre est irrationnel revient à dire qu’il n’est pas rationnel.
• $\mathbb{R}$ regroupe toutes les abscisses possibles sur la droite graduée.
• La propriété donnée indique que $\sqrt{2}$ n’est pas un nombre décimal.
• Les irrationnels sont donc des réels situés en dehors de $\mathbb{Q}$.

💡 Astuce mémo

Irrationnel = hors des fractions : pas dans $\mathbb{Q}$.

📖 3. Intervalles ouverts et fermés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle ouvert : Ensemble des réels entre deux bornes, avec les deux bornes exclues.
• Intervalle fermé : Ensemble des réels entre deux bornes, avec les deux bornes incluses.
• Borne gauche : Valeur qui délimite le côté gauche d’un intervalle sur la droite graduée.
• Borne droite : Valeur qui délimite le côté droit d’un intervalle sur la droite graduée.

📝 Points essentiels

• Pour deux réels $a<b$, l’intervalle ouvert est l’ensemble des $x$ tels que $a<x<b$.
• Pour deux réels $a<b$, l’intervalle fermé est l’ensemble des $x$ tels que $a\le x\le b$.
• On peut ouvrir un intervalle d’un côté et le fermer de l’autre, selon le symbole utilisé.
• La borne gauche d’un intervalle est toujours inférieure à sa borne droite.
• Les notations avec $+\infty$ et $-\infty$ permettent d’écrire des inégalités du type $x> a$, $x\ge a$, $x< b$, $x\le b$.
• Dans les notations d’inégalité, l’intervalle est toujours ouvert du côté des symboles $\pm\infty$.

💡 Astuce mémo

Ouvert = parenthèses (bornes exclues) ; fermé = crochets (bornes incluses).

📖 4. Intervalles infinis et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• $+\infty$ : Symbole indiquant une borne qui s’étend vers les valeurs plus grandes sans limite.
• $-\infty$ : Symbole indiquant une borne qui s’étend vers les valeurs plus petites sans limite.
• Notation d’inégalité : Écriture qui décrit un ensemble de réels vérifiant une condition du type $x<a$, $x\ge a$, etc.

📝 Points essentiels

• $\,]a,+\infty[$ correspond aux réels $x$ tels que $x>a$.
• $\,[a,+\infty[$ correspond aux réels $x$ tels que $x\ge a$.
• $\,]-\infty,b[$ correspond aux réels $x$ tels que $x<b$.
• $\,]-\infty,b]$ correspond aux réels $x$ tels que $x\le b$.
• On peut représenter une inégalité avec une écriture en intervalle en choisissant le bon côté ouvert/fermé.
• Les symboles $\pm\infty$ imposent un intervalle ouvert du côté infini.

💡 Astuce mémo

Vers $+\infty$ : $>$ donne $]a,+\infty[$ et $\ge$ donne $[a,+\infty[$ (même logique vers $-\infty$).

📖 5. Union et intersection d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : Opération qui regroupe les éléments appartenant à au moins un des deux ensembles (ici deux intervalles).
• Intersection : Opération qui regroupe les éléments appartenant aux deux ensembles (ici deux intervalles).
• Appartenance : Relation qui indique qu’un nombre appartient à un ensemble, notée $\in$.
• Non-appartenance : Relation qui indique qu’un nombre n’appartient pas à un ensemble, notée $\notin$.

📝 Points essentiels

• $I\cup J$ est l’ensemble des réels appartenant à $I$ ou à $J$ (éventuellement aux deux).
• $I\cap J$ est l’ensemble des réels appartenant à la fois à $I$ et à $J$.
• Deux intervalles peuvent être disjoints, donc avoir une intersection vide.
• La source donne des exemples où deux intervalles n’ont aucun nombre en commun.
• On peut utiliser les inégalités pour déterminer l’ensemble correspondant à une union ou une intersection.
• Pour comparer deux nombres $a$ et $b$, on peut étudier le signe de $a-b$ (utile pour décider lequel est le plus grand).

💡 Astuce mémo

Union = “ou” ; intersection = “et”.

📖 6. Encadrements et amplitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Situation où un réel $x$ est compris entre deux réels $a$ et $b$ avec $a\le x\le b$.
• Amplitude : Différence $b-a$ associée à un encadrement, mesurant la largeur de l’intervalle qui contient le réel.
• Encadrement à $\varepsilon$ près : Encadrement dont l’amplitude est au plus $\varepsilon$ et qui contient le réel visé.

📝 Points essentiels

• Encadrer $x$ revient à trouver deux réels $a$ et $b$ tels que $a\le x\le b$.
• L’amplitude de l’encadrement est $b-a$.
• Un encadrement à $\varepsilon$ près consiste à donner un encadrement d’amplitude contenant le réel.
• L’exemple montre un encadrement de $\sqrt{2}$ et indique l’amplitude correspondante.
• Si l’amplitude diminue, l’encadrement devient plus précis (idée portée par la définition).
• L’amplitude est toujours positive ou nulle car $a\le b$ dans un encadrement.

💡 Astuce mémo

Amplitude = “largeur” : $b-a$.

📖 7. Distance et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Nombre égal à la différence de deux abscisses, pris en valeur positive, entre deux points d’une droite graduée.
• Valeur absolue : Distance entre l’origine et un point d’abscisse donnée, notée $|x|$.
• Droite graduée : Support géométrique où chaque point correspond à une abscisse réelle.
• Origine : Point de la droite graduée dont l’abscisse est prise comme référence (souvent 0).

📝 Points essentiels

• La distance entre deux points d’abscisses $a$ et $b$ vaut $|a-b|$.
• La valeur absolue $|x|$ est la distance entre le point d’abscisse $x$ et l’origine.
• La propriété $|x|\ge 0$ est donnée : la valeur absolue est toujours positive ou nulle.
• Les exemples illustrent des valeurs absolues et des distances calculées via la formule.
• La valeur absolue sert à mesurer une “distance à 0” sur la droite graduée.
• La distance et la valeur absolue reposent sur la même idée : une différence d’abscisses rendue positive.

💡 Astuce mémo

Distance = “écart” : $|a-b|$ ; valeur absolue = “écart à 0” : $|x|$.

📖 8. Propriétés de la valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue positive : Propriété reliant le signe de $x$ à l’écriture $|x|$.
• Inégalités avec valeur absolue : Ensemble des réels satisfaisant une condition du type $|x|\le a$ ou $|x|>a$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $|x|\ge 0$.
• Si $x\ge 0$, alors $|x|=x$ (cas positif).
• Si $x\le 0$, alors $|x|=-x$ (cas négatif).
• L’ensemble des réels vérifiant $|x|\le a$ est un intervalle $[-a,a]$ (quand $a\ge 0$).
• L’ensemble des réels vérifiant $|x|<a$ est un intervalle ouvert $]-a,a[$ (quand $a\ge 0$).
• L’ensemble des réels vérifiant $|x|\ge a$ et $|x|>a$ se décrit par deux intervalles symétriques autour de 0 (selon le symbole).

💡 Astuce mémo

Valeur absolue = symétrie : les solutions sont toujours de part et d’autre de 0.

📖 9. Notations mathématiques essentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Appartient à : Notation $\in$ qui signifie qu’un élément appartient à un ensemble.
• N’appartient pas à : Notation $\notin$ qui signifie qu’un élément n’appartient pas à un ensemble.
• Pour tout : Notation $\forall$ qui signifie “quel que soit”.
• Pour tout réel de l’intervalle : Notation $\forall x\in I$ qui signifie “pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $I$”.
• Si et seulement si : Notation $\Leftrightarrow$ qui signifie “équivalent à” entre deux propositions.

📝 Points essentiels

• $\in$ se lit “appartient à”.
• $\notin$ se lit “n’appartient pas à”.
• $\forall$ se lit “pour tout” ou “quel que soit”.
• On peut écrire $\forall x\in I$ pour dire “pour tout réel $x$ de l’intervalle $I$”.
• $\Leftrightarrow$ se place entre deux équations pour indiquer une équivalence logique.
• La source insiste sur la vigilance : ne pas confondre les symboles $\in$ et $\notin$.

💡 Astuce mémo

Deux symboles, même forme : $\in$ (dans) vs $\notin$ (pas dans).

📖 10. Repères historiques des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre $\sqrt{2}$ : Nombre irrationnel dont une valeur approchée est associée à des représentations anciennes.
• Nombre d’or : Nombre irrationnel noté $\varphi$ (valeur donnée dans la source) connu depuis l’Antiquité.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\sqrt{2}$ était probablement connu des Babyloniens, avec une période “entre environ … et … avant notre ère” indiquée dans la source.
• Une tablette exposée à l’université de Yale montre la plus ancienne représentation connue d’une valeur approchée de $\sqrt{2}$.
• Le nombre d’or a une valeur donnée dans la source et est présenté comme irrationnel.
• Le nombre d’or est connu depuis au moins l’Antiquité.
• Le nombre d’or a souvent été utilisé pour son aspect esthétique dans l’art.

💡 Astuce mémo

Babyloniens pour $\sqrt{2}$ ; Antiquité pour le nombre d’or (irrationnels).

📊 Tableaux de synthèse

Chaîne d’inclusions des ensembles

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre intervalle ouvert et fermé : les bornes sont exclues dans un ouvert et incluses dans un fermé.
2. Oublier que $\pm\infty$ impose un intervalle ouvert du côté infini dans les notations d’inégalités.
3. Croire que tout réel est rationnel : $\sqrt{2}$ et $\pi$ sont donnés comme irrationnels.
4. Mélanger $\in$ et $\notin$ : ce sont deux symboles distincts pour l’appartenance.
5. Se tromper sur l’amplitude : ce n’est pas la valeur absolue du nombre, mais la largeur $b-a$ de l’encadrement.
6. Interpréter $|x|$ comme une distance “avec signe” : la valeur absolue est toujours non négative.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition et la notation de $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$.
2. Savoir écrire la chaîne d’inclusions $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{D}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$.
3. Savoir reconnaître un irrationnel comme un réel non rationnel et citer les exemples $\sqrt{2}$ et $\pi$ donnés.
4. Savoir traduire une inégalité en intervalle (ouvert/fermé) et utiliser correctement les symboles $\pm\infty$.
5. Savoir déterminer l’union et l’intersection de deux intervalles et conclure quand ils sont disjoints.
6. Savoir encadrer un réel et calculer l’amplitude $b-a$ d’un encadrement.
7. Savoir interpréter “à $\varepsilon$ près” comme un encadrement d’amplitude au plus $\varepsilon$.
8. Savoir calculer une distance $|a-b|$ et une valeur absolue $|x|$ comme distance à l’origine.
9. Savoir utiliser les propriétés de la valeur absolue pour décrire les ensembles solutions d’inégalités du type $|x|\le a$, $|x|<a$, $|x|\ge a$, $|x|>a$.
10. Savoir lire et utiliser $\in$, $\notin$, $\forall$, $\forall x\in I$ et $\Leftrightarrow$ sans confusion.
11. Savoir restituer les repères historiques cités : Babyloniens et tablette Yale pour une valeur approchée de $\sqrt{2}$, et nombre d’or irrationnel connu depuis l’Antiquité.