Lernzettel: Introduction aux probabilités et combinatoire

📋 Plan du Cours

1. Événements aléatoires
2. Calcul des probabilités
3. Probabilité conditionnelle et indépendance
4. Épreuves multiples et probabilités totales
5. Variables aléatoires discrètes
6. Dénombrement et combinatoire
7. Schéma de Bernoulli
8. Loi binomiale

📖 1. Événements aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience aléatoire : expérience dont l’issue n’est pas prévisible à l’avance car plusieurs résultats sont possibles.
• Univers Ω : Univers Ω : ensemble des issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : Événement élémentaire : événement qui contient un seul résultat (un seul élément de Ω).
• Événements disjoints : Événements disjoints : événements qui ne peuvent pas se produire simultanément, donc leur intersection est vide.
• Événement contraire Ē : Événement contraire Ē : partie de Ω formée des issues qui ne sont pas dans E.

📝 Points essentiels

• On note A∩B=∅ pour des événements disjoints et A∪Ā=Ω pour un événement et son contraire.
• Dans une partition, les événements sont deux à deux disjoints et leur union vaut le support étudié.
• Le complément d’un événement A est noté Ā et correspond à Ω\A.
• En équiprobabilité, on peut raisonner via des issues élémentaires comme bleu, rouge, jaune, vert pour l’urne donnée.

💡 Astuce mémo

Disjoint = pas d’intersection ; Contraire = tout le reste de Ω.

📖 2. Calcul des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité P : Probabilité P : application qui associe à chaque événement de P(Ω) un nombre entre 0 et 1 mesurant sa chance d’occurrence.
• Événement impossible : Événement impossible : événement dont la probabilité vaut 0.
• Événement certain : Événement certain : événement dont la probabilité vaut 1.
• Équiprobabilité : Équiprobabilité : situation où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

📝 Points essentiels

• Axiomes : P(Ω)=1 et, si A∩B=∅, alors P(A∪B)=P(A)+P(B).
• Pour un événement impossible ∅, on a P(∅)=0.
• Si B et C ne sont pas disjoints, alors P(B∪C)=P(B)+P(C)−P(B∩C).
• Dans l’équiprobabilité, P(A)=nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.
• Urne à 8 boules : on obtient P(rouge ou bleue ou verte ou jaune)=P(Ω)=1.
• Dans l’exemple du lancer de dé, si A=« pair », P(A)=P(2)+P(4)+P(6) avec 3 issues possibles sur 6.

💡 Astuce mémo

Additivité : disjoints → somme ; sinon → somme − intersection.

📖 3. Probabilité conditionnelle et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle P_B(A) : Probabilité conditionnelle P_B(A) : probabilité que A se réalise sachant que B est réalisé, définie par $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ avec $P(B)\neq 0$.
• Indépendance : Indépendance : relation entre deux événements telle que $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ (et donc $P_B(A)=P(A)$ quand $P(B)\neq 0$).
• Notations P(A/B) : Notations P(A/B) : écriture alternative de la probabilité conditionnelle, indiquant la dépendance à l’événement donné.

📝 Points essentiels

• Définition : pour $P(B)\neq 0$, $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• Exemple urne marquée : $P_C(V)=\dfrac{1}{3}$ et $P_V(C)=\dfrac{1}{2}$, ce qui montre que les sens de la condition changent la probabilité.
• Indépendance équivaut à $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ et implique que $P_B(A)=P(A)$.
• Exemple dé équilibré : A=« obtenir le 1 » et B=« obtenir un impair » ne sont pas indépendants car $P_B(A)\neq P(A)$.

💡 Astuce mémo

Conditionner change le monde : $P(A|B)$ n’est pas forcément $P(A)$ ; indépendance = égalité.

📖 4. Épreuves multiples et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Chemin (sur un arbre) : Chemin : suite de branches sur un arbre qui mène à une issue (ou groupe d’issues) d’une expérience à plusieurs épreuves.
• Principe du produit : Principe du produit : probabilité d’une issue atteinte par un chemin égale le produit des probabilités le long des branches du chemin.
• Principe de la somme : Principe de la somme : probabilité d’un événement réunion d’issues correspond à la somme des probabilités de chaque chemin concerné.
• Formule des probabilités totales : Formule des probabilités totales : si $(B_1,\dots,B_n)$ partitionnent Ω, alors $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)$.

📝 Points essentiels

• Deux tirages sans remise : l’ordre ne compte pas et les issues se listent avec paires (ex. RR, RB, R V, ...).
• Deux tirages avec remise : les issues sans tenir compte de l’ordre sont aussi des paires mais les probabilités changent car les tirages ne sont plus dépendants de la première extraction.
• Principe du produit sur arbre : une probabilité d’issue = produit des probabilités des branches successives.
• Formule des probabilités totales : si $B_1,\dots,B_n$ partitionnent Ω, alors $P(A)=\sum_{i=1}^n P(A\cap B_i)$.
• Exemple urne marquée : $P(C)=P(C\cap R)+P(C\cap B)+P(C\cap J)+P(C\cap V)$ donne finalement $P(C)=\dfrac{3}{8}$.
• Exemple deux tirages sans remise : pour A=« rouge et verte », $P(A)=\dfrac{1}{14}$ (différent du cas avec remise).

💡 Astuce mémo

Arbre : un chemin = produit ; un ensemble de chemins = somme.

📖 5. Variables aléatoires discrètes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire X : Variable aléatoire X : fonction qui associe à chaque issue ω de Ω une valeur réelle $x_i$.
• Espérance mathématique E(X) : Espérance E(X) : moyenne pondérée des valeurs $x_i$ par leurs probabilités $p_i$, donnée par $E(X)=\sum p_i x_i$.
• Variance V(X) : Variance V(X) : mesure de dispersion définie par $V(X)=\sum p_i x_i^2 - (E(X))^2$.
• Écart-type σ(X) : Écart-type σ(X) : racine carrée de la variance, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
• Fonction de répartition F(x) : Fonction de répartition F : pour tout réel x, $F(x)=P(X\le x)$.

📝 Points essentiels

• Si X prend $x_1,\dots,x_n$ avec probabilités $p_1,\dots,p_n$, alors sa loi est donnée par l’association $x_i\mapsto p_i$.
• Loi du dé équilibré : pour $X\in\{1,2,3,4,5,6\}$, on a $p_i=\dfrac{1}{6}$ pour chaque face.
• Pour le dé équilibré, $E(X)=3{,}5$, $V(X)\approx 2{,}92$ et $\sigma(X)\approx 1{,}71$.
• Fonction de répartition : pour $x=1$, on a $F(1)=P(X\le 1)=P(X=1)=\dfrac{1}{6}$.
• Pour $x=0$, on a $F(0)=0$ au lancer du dé équilibré car $X$ ne prend pas de valeur ≤0.

💡 Astuce mémo

Écart-type = racine de la variance ; répartition = probabilité “jusqu’à x”.

📖 6. Dénombrement et combinatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle n! : Factorielle n! : produit $1\cdot2\cdot\dots\cdot n$ qui sert à compter des arrangements/permutations.
• Arrangements avec répétition : Arrangements avec répétition : suites de longueur p formées à partir de n objets lorsque la répétition est autorisée.
• Arrangements sans répétition : Arrangements sans répétition : suites de longueur p formées à partir de n objets lorsque chaque objet ne peut pas être repris.
• Permutations : Permutations : cas particulier d’arrangements sans répétition lorsque p=n, donc ordonnancements de n objets.
• Combinaisons C(n,p) : Combinaisons $C(n,p)$ : nombres de groupes de p éléments choisis parmi n sans ordre et sans répétition.

📝 Points essentiels

• Factorielle : $n!=1\cdot2\cdot\dots\cdot n$ et $4!=24$, $6!=720$.
• Arrangements avec répétition : $N=n^p$ et exemple du digicode à 4 chiffres donne $10^4=10000$.
• Arrangements sans répétition : $A_n^p=\dfrac{n!}{(n-p)!}$ et exemple avec 4 chiffres sans répétition donne $10\cdot9\cdot8\cdot7=5040$.
• Permutations : $P_n=A_n^n=n!$ et exemple chiffres 3-4-5-6 pour 4 positions donne $4!=24$.
• Combinaisons : $C_n^p=\binom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$ et exemple 10 chevaux : $\binom{10}{3}=120$.
• Propriété notée : formule du binôme $(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

💡 Astuce mémo

Répétition → puissance ; Sans répétition → factoriels ; Combinaison → pas d’ordre.

📖 7. Schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Schéma de Bernoulli : Schéma de Bernoulli : expérience répétée n fois indépendantes avec deux issues succès S et échec S̄, de probabilités p et q=1−p.
• Succès S : Succès S : issue choisie comme “réussite” dans le schéma de Bernoulli, avec probabilité p.
• Échec S̄ : Échec S̄ : issue opposée au succès dans le schéma de Bernoulli, avec probabilité $q=1-p$.

📝 Points essentiels

• Dans un schéma de Bernoulli, les répétitions sont indépendantes et se font avec remise (d’après la description).
• Deux paramètres suffisent : n (nombre de répétitions) et p (probabilité du succès), avec q=1−p.
• On définit ensuite une variable X qui compte le nombre de succès sur n répétitions.

💡 Astuce mémo

Bernoulli = 2 issues + indépendance + répétition n fois + succès proba p.

📖 8. Loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable X nombre de succès : Variable X nombre de succès : variable aléatoire égale au nombre de fois où le succès S est obtenu sur n épreuves.
• Loi binomiale $B(n,p)$ : Loi binomiale : loi de probabilité de X quand X compte les succès d’un schéma de Bernoulli à paramètres n et p.

📝 Points essentiels

• Si $X\sim B(n,p)$, alors $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ pour $k\in\{0,1,\dots,n\}$.
• Pour $X\sim B(n,p)$, on a $E(X)=n p$ et $V(X)=n p q$ avec $q=1-p$.
• Exemple : deux lancers de dé équilibré, succès S=« obtenir le 6 » donc p=1/6 et q=5/6.
• Dans l’exemple, $X\in\{0,1,2\}$ et $P(X=0)=\binom{2}{0}(1/6)^0(5/6)^2=25/36$.
• Dans l’exemple, $P(X=1)=\binom{2}{1}(1/6)^1(5/6)^1=10/36$ et $P(X=2)=\binom{2}{2}(1/6)^2(5/6)^0=1/36$.
• On vérifie que $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1$ dans l’exemple.

💡 Astuce mémo

Formule binomiale : coefficient $\binom{n}{k}$ × $p$ au nombre de succès × $q$ au nombre d’échecs.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’univers Ω (ensemble des issues) avec un événement (une partie de Ω).
2. Oublier que la formule $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ne s’applique que si $A$ et $B$ sont disjoints.
3. Inverser les notations conditionnelles, car $P_C(V)$ et $P_V(C)$ correspondent à des conditions différentes.
4. Croire que “avec remise” et “sans remise” conduisent aux mêmes probabilités sur deux tirages, alors que les dépendances changent.
5. Confondre la fonction de répartition $F(x)=P(X\le x)$ avec une probabilité ponctuelle $P(X=x)$.
6. Utiliser $n^p$ quand le problème interdit la répétition, alors qu’il faut plutôt un produit décroissant ou une formule $\dfrac{n!}{(n-p)!}$.
7. Prendre $q$ pour p dans la loi binomiale : $q$ vaut toujours $1-p$.

✅ Checklist Examen

1. Définir une expérience aléatoire et identifier Ω, un événement, un événement élémentaire et un contraire.
2. Savoir interpréter disjoints/incompatibles et utiliser A∩B=∅ et A∪Ā=Ω.
3. Énoncer les axiomes indispensables : P(Ω)=1 et additivité pour événements disjoints.
4. Calculer une probabilité d’union avec recouvrement via $P(B\cup C)=P(B)+P(C)-P(B\cap C)$.
5. Utiliser l’équiprobabilité pour écrire $P(A)=\dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
6. Appliquer la probabilité conditionnelle $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ quand $P(B)\neq 0$.
7. Tester l’indépendance avec $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ (ou $P_B(A)=P(A)$ si $P(B)\neq 0$).
8. Construire/relire une formule d’arbre : chemin → produit et événement multi-chemins → somme.
9. Appliquer la formule des probabilités totales quand une partition $(B_i)$ est donnée : $P(A)=\sum P(A\cap B_i)$.
10. Définir X comme variable aléatoire discrète et écrire $E(X)=\sum p_i x_i$, $V(X)=\sum p_i x_i^2-(E(X))^2$, $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$.
11. Calculer ou exploiter $F(x)=P(X\le x)$ pour des valeurs charnières comme x=0,5,1 avec le dé équilibré.
12. Maîtriser factorielle $n!$ et les quatre comptages : $n^p$, $\dfrac{n!}{(n-p)!}$, $n!$, $\binom{n}{p}$.
13. Identifier un schéma de Bernoulli (deux issues S et S̄, n répétitions indépendantes, probabilité p et q=1−p).
14. Écrire et utiliser la loi binomiale : $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}$ et les formules $E(X)=np$ et $V(X)=npq$.