Lernzettel: Introduction aux probabilités et événements

📋 Plan du Cours

1. Événements et univers aléatoire
2. Probabilité d'un événement
3. Probabilité conditionnelle
4. Arbres pondérés de probabilités
5. Indépendance de deux événements

📖 1. Événements et univers aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers Ω : L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Événement A : Un événement A est un ensemble d’issues, donc une partie de l’univers Ω.
• Issue x : Une issue x réalise l’événement A quand x appartient à A.
• Événement élémentaire : Un événement élémentaire contient exactement une seule issue.
• Événement certain : Un événement certain se réalise toujours et contient toutes les issues de Ω.

📝 Points essentiels

• On écrit A∪B pour l’événement « A ou B », qui contient les issues réalisant au moins l’un des deux événements.
• On écrit A∩B pour l’événement « A et B », qui contient les issues réalisant les deux événements en même temps.
• Le complément de A, noté 7A, regroupe toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
• Pour deux événements A et B incompatibles, on a A∩B=∅, car il n’existe aucune issue commune.
• Dans l’exemple du dé, Ω={1;2;3;4;5;6} et A={2;4;6} donc 7A={1;3;5}.

📖 2. Probabilité d'un événement

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : Une loi de probabilité associe à chaque issue une valeur entre 0 et 1, et la somme de ces valeurs vaut 1.
• Probabilité P(A) : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui appartiennent à cet événement.

📝 Points essentiels

• Pour un univers fini, P(Ω)=1 et P(∅)=0.
• Pour tout événement A, on a P(7A)=1−P(A).
• Pour deux événements A et B, P(A∪B)=P(A)+P(B) quand les cas nécessaires sont ceux traités dans le cours.
• La propriété donnée relie P(A∩B) et P(A∪B) en cas d’intersection non nulle via la formule de la somme.
• Si P(A∩B)=0 alors A∩B=∅, donc A et B sont incompatibles.
• Avec Ω={1;2;3;4;5;6} : P(A) = 1/2 pour « nombre pair » et P(B)=1/3 pour « multiple de 3 ».

📖 3. Probabilité conditionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité de A sachant B : La probabilité conditionnelle P_B(A) est la probabilité de A une fois que l’on sait que B est réalisé.
• Tableau d'effectifs : Un tableau d’effectifs organise le comptage des issues selon deux critères, utile pour lire des probabilités conditionnelles.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente les choix successifs avec des probabilités sur les branches, dont certaines sont conditionnelles.

📝 Points essentiels

• La formule de la probabilité conditionnelle est $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$.
• En équiprobabilité, $P_B(A)$ se lit comme le quotient du nombre d’issues dans A∩B par le nombre d’issues dans B.
• Dans l’exemple pantalons, P(N) = 83/157 et P(N∩M)=26/157.
• Toujours dans l’exemple, $P_N(M)=26/83$, interprétée comme la probabilité d’être de taille M sachant que le pantalon est noir.
• À l’arbre pondéré, les probabilités issues du 2e niveau sont des probabilités conditionnelles et, au départ, on a P(A)+P(7A)=1.

📖 4. Arbres pondérés de probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Nœud de l'arbre : Un nœud de l’arbre correspond à un événement dont les branches mènent aux issues possibles suivantes.
• Chemin : Un chemin est une suite de branches menant à un événement final, correspondant à l’intersection des événements rencontrés.
• Produit de probabilités : La probabilité associée à un chemin est obtenue en multipliant les probabilités portées par ses branches.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est égale à 1.
• Pour un chemin, la probabilité de l’événement correspondant est le produit des probabilités des branches du chemin.
• Le cours donne notamment $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$ pour le premier chemin.
• La probabilité d’un événement s’obtient en additionnant les probabilités des chemins menant à cet événement.
• Le cours précise deux égalités sur l’arbre : $P(A)+P(\bar A)=1$ puis, au 2e niveau, $P_A(B)+P_A(\bar B)=1$ (et idem avec $\bar A$).
• Dans l’exemple confiseries, $P(\bar B\cap M)=0,2\times 0,7=0,14$ et $P(B\cap M)=0,8\times 0,25=0,2$.

📖 5. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance de A et B : Deux événements A et B sont indépendants si le fait que l’un soit réalisé n’affecte pas la probabilité de l’autre.
• Condition d'indépendance : La condition d’indépendance exprime l’égalité entre la probabilité de l’intersection et le produit des probabilités.

📝 Points essentiels

• A et B sont indépendants si $P(A)=P_B(A)$ (ou de façon équivalente si $P(B)=P_A(B)$).
• A et B sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.
• Si A et B sont indépendants, alors $\bar A$ et B sont aussi indépendants, de même que A et $\bar B$, et $\bar A$ et $\bar B$.
• Dans l’exemple dentiste, $P(D)=319/500 \approx 0,638$ et $P_F(D)=177/256 \approx 0,69$, donc $P_F(D)\ne P(D)$.
• Conclusion de l’exemple : D et F ne sont pas indépendants, car le statut femme influence la probabilité d’être allé chez le dentiste.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre A∩B avec A∪B : l’intersection demande les deux événements en même temps, tandis que la réunion demande au moins un des deux.
2. Oublier que l’événement complémentaire 7A contient les issues de Ω qui ne sont pas dans A, ce qui inverse l’ensemble.
3. Se tromper en probabilité conditionnelle en utilisant P(A) à la place de P_B(A), car la connaissance de B change la formule.
4. Inverser le quotient dans $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, ce qui donne une autre probabilité conditionnelle.
5. Croire que $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$ pour tous les événements, alors que la relation caractérise seulement l’indépendance.
6. Déduire l’indépendance à partir d’une seule égalité erronée (par exemple comparer $P_B(A)$ à autre chose que $P(A)$) plutôt que vérifier la condition donnée.

✅ Checklist Examen

1. Définir une expérience aléatoire, ses issues et l’univers Ω.
2. Reconnaître qu’un événement est une partie de Ω et savoir quand une issue réalise un événement.
3. Classer un événement comme certain ou impossible selon qu’il contient toutes ou aucune issue.
4. Utiliser correctement les notations A∪B et A∩B et donner leur interprétation logique.
5. Calculer le complément 7A et vérifier les identités A∪7A=Ω et A∩7A=∅.
6. Donner la règle de calcul de P(A) comme somme des probabilités des issues de A.
7. Appliquer les propriétés P(Ω)=1, P(∅)=0 et P(7A)=1−P(A).
8. Calculer des probabilités d’événements sur l’exemple du dé (pair, multiple de 3, obtenir 5, intersections, unions).
9. Écrire la formule $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ et savoir l’utiliser.
10. Lire une probabilité conditionnelle à partir d’un tableau d’effectifs en équiprobabilité.
11. Interpréter le résultat de $P_N(M)$ dans le contexte « taille sachant que noir ».
12. Construire/valider la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud sur un arbre pondéré.
13. Calculer la probabilité d’un chemin par produit des probabilités de branches sur un arbre.
14. Calculer une probabilité d’événement en additionnant les probabilités des chemins correspondants.