Lernzettel: Introduction aux statistiques descriptives et inférentielles

📋 Plan du Cours

1. Tendance centrale
2. Mesures de dispersion
3. Corrélation et probabilité
4. Distribution normale
5. Tests d’hypothèses et score Z

📖 1. Tendance centrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La moyenne est une valeur représentative calculée à partir de toutes les valeurs d’un ensemble de données.
• Médiane : La médiane est la valeur centrale quand les données sont ordonnées, déterminée à partir de la position au milieu.
• Mode : Le mode est la valeur la plus fréquente dans un ensemble de données.

📝 Points essentiels

• La moyenne correspond à la moyenne de toutes les valeurs et peut être influencée par des valeurs extrêmes.
• Pour des données triées, si $n$ est impair, la médiane est la valeur au $\frac{n+1}{2}$-ième élément.
• Pour des données triées, si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux éléments centraux (les $\frac{n}{2}$-ième et $\frac{n}{2}+1$-ième).
• Pour des données groupées, la médiane se repère via la limite de la classe médiane obtenue avec la fréquence cumulée, puis avec la fréquence de la classe médiane et la largeur de classe.
• Pour des données groupées, le mode se calcule à partir de la classe modale (fréquence $f$) avec les fréquences des classes avant $f_0$ et après $f_a$ la classe modale.

💡 Astuce mémo

Médiane = au milieu, Mode = le plus fréquent, Moyenne = toutes les valeurs (donc sensible aux extrêmes).

📖 2. Mesures de dispersion

🔑 Notions clés & Définitions

• Étendue : L’étendue mesure la dispersion en prenant la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
• Variance : La variance est la moyenne des écarts au carré par rapport à la moyenne (dispersion des valeurs autour de la moyenne).
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance, exprimant la dispersion dans l’unité d’origine.
• Coefficient de variation : Le coefficient de variation mesure la dispersion de façon relative, ce qui permet des comparaisons entre séries.

📝 Points essentiels

• L’étendue $R$ s’exprime par $R=L-S$, où $L$ est la plus grande valeur et $S$ la plus petite valeur.
• La variance (pour une population) correspond à la moyenne des écarts quadratiques par rapport à la moyenne.
• L’écart-type est le carré de root de la variance, donc relié directement à la dispersion via la racine carrée.
• Un coefficient de variation plus faible indique une dispersion relative plus faible et des données plus cohérentes.

💡 Astuce mémo

Étendue = Max − Min ; Variance = écarts au carré ; Écart-type = racine ; CV = dispersion relative.

📖 3. Corrélation et probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de corrélation $r$ : Le coefficient de corrélation $r$ mesure l’intensité et le sens de la relation linéaire entre deux variables.
• Probabilité $P(E)$ : La probabilité $P(E)$ mesure la chance qu’un événement $E$ se produise, via le nombre de cas favorables sur le nombre total de cas.

📝 Points essentiels

• Le coefficient de corrélation $r$ varie de $-1$ à $+1$.
• Si $r=+1$, la corrélation est positive parfaite.
• Si $r=0$, il n’y a pas de corrélation.
• Si $r=-1$, la corrélation est négative parfaite.
• La probabilité se calcule comme $P(E)=\frac{\text{nombre de résultats favorables}}{\text{nombre total de résultats}}$ et $P(E)<1$.

💡 Astuce mémo

Corrélation : signe de $r$ = sens, valeur proche de ±1 = relation très forte ; Probabilité : favorable / total.

📖 4. Distribution normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution normale : La distribution normale est une loi en forme de cloche dont la moyenne, la médiane et le mode coïncident.
• Règles des écarts-types : Les règles des écarts-types donnent la proportion de valeurs attendues dans la courbe normale à $\pm 1\sigma$, $\pm 2\sigma$ et $\pm 3\sigma$.

📝 Points essentiels

• La distribution normale a une forme en cloche et l’aire totale sous la courbe vaut 100%.
• Dans une distribution normale, la moyenne, la médiane et le mode sont égaux.
• Pour une normale : $\pm 1\sigma$ contient $68{,}27\%$ des valeurs.
• Pour une normale : $\pm 2\sigma$ contient $95{,}45\%$ des valeurs.
• Pour une normale : $\pm 3\sigma$ contient $99{,}73\%$ des valeurs.

💡 Astuce mémo

Cloche normale : 68-95-99, correspond à $\pm 1\sigma$, $\pm 2\sigma$, $\pm 3\sigma$.

📖 5. Tests d’hypothèses et score Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’hypothèses : Un test d’hypothèses sert à décider au sujet d’une population à partir des données d’un échantillon.
• Hypothèse nulle $H_0$ : L’hypothèse nulle $H_0$ formule l’état de référence que l’on compare aux données de l’échantillon.
• Hypothèse alternative $H_1$ : L’hypothèse alternative $H_1$ exprime ce que l’on cherche à soutenir face à $H_0$.
• Score Z : Le score Z mesure à quel point une valeur s’écarte de la moyenne en nombre d’écarts-types.

📝 Points essentiels

• Les étapes d’un test sont : poser $H_0$, poser $H_1$, choisir le niveau de signification, calculer la statistique de test, comparer à la valeur critique, puis décider de rejeter ou non $H_0$.
• Le score Z se calcule par $Z=\frac{h-m}{\sigma}$, où $m$ est la moyenne et $\sigma$ l’écart-type.
• Le score Z sert à comparer des scores issus de distributions différentes grâce à une échelle en écarts-types.
• Le score Z aide aussi à raisonner quand on utilise une courbe normale.

💡 Astuce mémo

Z = (valeur − moyenne) / écart-type : combien d’écarts-types d’écart ?

📊 Tableaux de synthèse

Interprétation de $r$

Valeur de $r$	Sens de la corrélation	Lien linéaire
+1	Positive parfaite	Relation parfaitement positive
0	Pas de corrélation	Aucun lien linéaire
-1	Négative parfaite	Relation parfaitement négative

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la médiane avec la moyenne : la médiane dépend de l’ordre des valeurs, tandis que la moyenne est sensible aux extrêmes.
2. Se tromper dans le cas $n$ pair : la médiane n’est pas une valeur unique mais la moyenne des deux éléments centraux.
3. Utiliser une formule de variance/écart-type incohérente avec la définition : la variance se base sur les écarts au carré, l’écart-type sur la racine.
4. Interpréter $r$ sans respecter son signe : un $r$ négatif indique une relation descendante, pas montante.
5. Calculer le mode sans distinguer le cas groupé : pour des classes, il faut la classe modale et les fréquences avant/après.
6. Oublier que les pourcentages 68,27 ; 95,45 ; 99,73 correspondent à $\pm 1\sigma$, $\pm 2\sigma$, $\pm 3\sigma$ sur la normale.
7. Se tromper dans le test d’hypothèses en sautant une étape : la comparaison avec la valeur critique conditionne la décision.

✅ Checklist Examen

1. Définir et calculer la moyenne d’un ensemble à partir de toutes les valeurs.
2. Déterminer la médiane pour $n$ impair et pour $n$ pair quand les données sont triées.
3. Identifier le mode pour des données non groupées et retrouver le mode pour des données groupées avec classe modale et fréquences avant/après.
4. Calculer l’étendue $R=L-S$ à partir de la valeur maximale et de la valeur minimale.
5. Exprimer la variance comme écarts quadratiques moyens autour de la moyenne et en déduire l’écart-type par racine carrée.
6. Interpréter le coefficient de variation : plus il est faible, plus la dispersion relative est faible.
7. Donner l’interprétation de $r$ pour $+1$, $0$ et $-1$ sur le sens et l’intensité.
8. Calculer une probabilité $P(E)$ comme cas favorables sur cas total et vérifier qu’elle reste < 1.
9. Relier la distribution normale à la forme en cloche et au fait que moyenne, médiane et mode coïncident.
10. Utiliser les aires en pourcentage : 68,27%, 95,45%, 99,73% pour $\pm 1\sigma$, $\pm 2\sigma$, $\pm 3\sigma$.
11. Suivre les étapes d’un test d’hypothèses jusqu’à la décision rejet/non rejet de $H_0$.
12. Calculer un score Z avec $Z=\frac{h-m}{\sigma}$ et expliquer ce que signifie son nombre d’écarts-types.
13. Pour toute réponse, écrire la formule, montrer les étapes et terminer la réponse finale avec les unités quand elles sont pertinentes.