Lernzettel: Introduction aux suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques : définition et terme général
2. Variation et limites arithmétiques
3. Sommes de suites arithmétiques
4. Suites géométriques : définition et terme général
5. Variation et limites géométriques
6. Sommes de suites géométriques

📖 1. Suites arithmétiques : définition et terme général

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique lorsqu’il existe un réel $r$ tel que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$ de son domaine.
• Raison $r$ : La raison $r$ est la quantité constante ajoutée entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique.
• Terme général (arithmétique) : Le terme général s’obtient en exprimant $u_n$ avec $u_p$ et la raison : $u_n=u_p+(n-p)r$ pour $n\ge p$.

📝 Points essentiels

• Si $u_{n+1}=u_n+r$, alors $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout $n$ où les termes sont définis.
• Si une suite arithmétique a un premier terme $u_0$, alors $u_n=u_0+nr$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Pour $n\ge p$, on a aussi la relation $u_n=u_p+(n-p)r$ qui relie deux termes quelconques.
• Exemple-type : une raison négative produit une suite qui “descend” terme après terme.

💡 Astuce mémo

Ajout constant : en arithmétique on passe de $u_n$ à $u_{n+1}$ en ajoutant toujours le même nombre $r$.

📖 2. Variation et limites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation (arithmétique) : Le sens de variation d’une suite arithmétique dépend uniquement du signe de sa raison $r$.
• Limite (arithmétique) : La limite d’une suite arithmétique dépend de $r$ : non nulle elle diverge, nulle elle converge vers $u_0$.

📝 Points essentiels

• Si $r>0$, la suite arithmétique est croissante.
• Si $r=0$, la suite est constante.
• Si $r<0$, la suite arithmétique est décroissante.
• Toute suite arithmétique de raison non nulle est divergente, et elle vérifie : si $r>0$ alors $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$, si $r<0$ alors $\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$.

💡 Astuce mémo

Signe de $r$ : $+$ monte, $0$ fige, $-$ descend ; pour les limites, même signe donne $\pm\infty$ sauf $r=0$.

📖 3. Sommes de suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des entiers consécutifs : La somme $1+2+\dots+n$ vaut $\dfrac{n(n+1)}{2}$ pour $n\ge1$.
• Somme de termes arithmétiques : Dans une suite arithmétique, la somme de $u_k$ entre deux indices s’exprime avec la moyenne des extrêmes : $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\dfrac{(u_{n_0}+u_n)(n-n_0+1)}{2}$.

📝 Points essentiels

• Pour $n\ge1$, $\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
• Si $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, alors $u_n=u_0+nr$, ce qui permet de calculer $u_{n_0}$ et $u_n$ avant la somme.
• Si $n\ge n_0$, alors $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\dfrac{(u_{n_0}+u_n)(n-n_0+1)}{2}$.
• Dans l’exemple donné, la somme des $20$ premiers termes d’une suite avec $u_0=5$ et $r=2$ vaut $480$.

💡 Astuce mémo

Somme arithmétique = (extrêmes) × (nombre de termes) / 2 : on “mixe” $u_{n_0}$ et $u_n$.

📖 4. Suites géométriques : définition et terme général

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique lorsqu’il existe un réel $q$ tel que $u_{n+1}=u_n\times q$ pour tout $n$ de son domaine.
• Raison $q$ : La raison $q$ est le facteur multiplicatif constant entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Terme général (géométrique) : Le terme général s’écrit $u_n=u_p\times q^{n-p}$ pour $n\ge p$, et en particulier $u_n=u_0\times q^n$.

📝 Points essentiels

• Si $u_{n+1}=u_nq$ avec $u_n\ne0$, alors $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ pour les indices concernés.
• Si la suite est définie à partir du rang $n_0$ avec $u_{n_0}\ne0$, alors $u_n=u_{n_0}\,q^{n-n_0}$.
• Si on connaît $u_0$ et $q$, alors $u_n=u_0q^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
• Exemple-type : $u_{n+1}=u_n\times\tfrac12$ donne un terme général du type $u_n=u_0(\tfrac12)^n$.

💡 Astuce mémo

Multiplication constante : en géométrique on passe de $u_n$ à $u_{n+1}$ en multipliant toujours par $q$.

📖 5. Variation et limites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation (géométrique) : Le sens de variation d’une suite géométrique dépend des valeurs possibles de la raison $q$ (signe et comparaison à $1$).
• Limite (géométrique) : La limite de $q^n$ gouverne celle de $u_n$, selon que $q$ est entre $-1$ et $1$, égal à $1$, ou en dehors.

📝 Points essentiels

• Si $q<0$, la suite géométrique n’est pas monotone.
• Si $0<q<1$, la suite est décroissante.
• Si $q=1$, la suite est constante.
• Si $q>1$, la suite est croissante.

💡 Astuce mémo

Comparaison à $1$ : $|q|<1$ vers $0$, $q=1$ fixe, $q>1$ vers $+\infty$ ; $q<0$ alterne donc pas monotone.

📖 6. Sommes de suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme géométrique (facteur $q$) : Pour $q\ne1$, on a $1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• Somme de termes géométriques : Dans une suite géométrique, $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=u_{n_0}\,\dfrac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}$ pour $q\ne1$.

📝 Points essentiels

• Pour $q\ne1$ et $n\ge0$, $\sum_{k=0}^{n}q^k=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
• Si $q\ne1$ et $n>n_0$, alors $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=u_{n_0}\,\dfrac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}$.
• Dans l’exemple avec la somme $1+(1/2)+\dots+(1/2)^{10}$, on utilise $\dfrac{1-(1/2)^{11}}{1-1/2}$.
• Dans l’exemple avec $u_0=3$ et $q=2$, la somme des $10$ premiers termes vaut $-3(1-2^{10})$.

💡 Astuce mémo

Formule $q$-géométrique : somme = 1 moins la dernière puissance, divisé par $1-q$, multiplié par le premier terme selon l’intervalle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la règle de passage : en arithmétique on ajoute $r$, en géométrique on multiplie par $q$.
2. Se tromper de signe pour la variation arithmétique : $r<0$ donne décroissance et $r>0$ donne croissance.
3. Oublier que pour $r\ne0$ une suite arithmétique ne converge pas mais diverge vers $\pm\infty$ selon le signe de $r$.
4. Appliquer la limite géométrique avec $q$ au lieu de $q^n$ : c’est bien $\lim q^n$ qui détermine la limite de $u_n$.
5. Croire que $q<0$ donne directement une monotonicité : une suite géométrique avec $q<0$ n’est pas monotone car les signes alternent.
6. Utiliser la formule de somme géométrique alors que $q=1$ : elle n’est valable qu’avec $q\ne1$.
7. Mal choisir le nombre de termes dans la somme arithmétique : $n-n_0+1$ est le compte exact entre $n_0$ et $n$.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une suite vérifie $u_{n+1}-u_n=r$ (arithmétique) ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$ (géométrique).
2. Écrire $u_n=u_0+nr$ pour une suite arithmétique quand $u_0$ et $r$ sont donnés.
3. Écrire $u_n=u_p+(n-p)r$ pour relier $u_n$ à $u_p$ sur une suite arithmétique.
4. Déduire le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de $r$ (croissante, constante, décroissante).
5. Conclure la limite d’une suite arithmétique : $r>0\Rightarrow +\infty$, $r<0\Rightarrow -\infty$, $r=0\Rightarrow u_0$.
6. Calculer une somme arithmétique via $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\frac{(u_{n_0}+u_n)(n-n_0+1)}{2}$.
7. Calculer $1+2+\dots+n$ avec $\frac{n(n+1)}{2}$ quand une somme d’entiers apparaît.
8. Écrire $u_n=u_0q^n$ pour une suite géométrique quand $u_0$ et $q$ sont donnés.
9. Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique selon $q$ : $q<0$ non monotone, $0<q<1$ décroissante, $q=1$ constante, $q>1$ croissante.
10. Conclure une limite géométrique en utilisant $\lim q^n$ : $q\le-1$ divergence sans limite, $-1<q<1$ vers $0$, $q=1$ vers $1$, $q>1$ vers $+\infty$.
11. Calculer une somme géométrique de type $\sum_{k=n_0}^{n}u_k=u_{n_0}\frac{1-q^{n-n_0+1}}{1-q}$ avec $q\ne1$.
12. Calculer $\sum_{k=0}^{n}q^k$ avec $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne1$.