Lernzettel: Introduction aux suites et fonctions fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Équations du second degré
4. Dérivation
5. Probabilités conditionnelles
6. Fonction exponentielle
7. Trigonométrie
8. Variable aléatoire discrète
9. Produit scalaire

📖 1. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Génération explicite : La génération explicite donne le terme général en écrivant u_n comme une fonction directe de n.
• Génération par récurrence : La génération par récurrence définit u_{n+1} à partir de u_n, à partir d’un terme initial u_0 ou u_1.
• Monotonie locale : La monotonie locale signifie qu’une suite peut changer de sens seulement à partir d’un certain rang p.

📝 Points essentiels

• Dans une récurrence, il faut un premier terme (u_0 ou u_1) pour pouvoir calculer tous les suivants.
• Pour étudier le signe, on compare u_{n+1}-u_n afin de décider si la suite augmente ou diminue.
• Pour comparer un quotient, on utilise le cas u_n>0 pour comparer u_{n+1}/u_n à 1.
• Ne confonds jamais u_{n+1} avec u_n+1 ; la première est le terme suivant, la seconde ajoute 1 au terme actuel.

💡 Astuce mémo

u_{n+1}-u_n : différence = variation ; u_{n+1}/u_n : quotient = rapport à 1.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique avance à un taux constant r, avec u_{n+1}=u_n+r.
• Suite géométrique : Une suite géométrique évolue à un facteur constant q, avec u_{n+1}=u_n·q.
• Somme géométrique : La somme d’une suite géométrique s’exprime avec une formule fermée dépendant de q et du nombre de termes.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, la formule générale est u_n=u_p+(n-p)r (en particulier u_n=u_0+nr si p=0).
• Pour une suite géométrique, la formule générale est u_n=u_p·q^{n-p} (en particulier u_n=u_0·q^n si p=0).
• Pour q≠1, la somme des termes de u_p à u_n contient n-p+1 termes et se calcule avec le rapport 1-q dans le dénominateur.
• La somme de référence vaut 1+q+q^2+⋯+q^n=(1-q^{n+1})/(1-q).

💡 Astuce mémo

Arithmétique : r s’ajoute ; Géométrique : q se multiplie.

📖 3. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction du type f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0.
• Forme canonique : La forme canonique écrit f(x)=a(x-α)^2+β, ce qui met en évidence l’emplacement de l’extrémum via α.
• Discriminant Δ : Le discriminant Δ est la quantité Δ=b^2-4ac qui détermine le nombre et la nature des solutions.

📝 Points essentiels

• Pour Δ>0, il y a deux racines x_{1,2}=(2a-b±√Δ)/(2a).
• Pour Δ=0, il y a une unique racine x_0=(2a-b)/(2a).
• Pour Δ<0, il n’y a aucune solution réelle et f(x) garde le signe de a.
• Le signe de f(x) est celui de a à l’extérieur des racines quand Δ>0 et il change au passage des racines.

💡 Astuce mémo

Δ règle tout : >0 deux solutions, =0 une, <0 aucune réelle.

📖 4. Dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation de f en a quand h tend vers 0.
• Équation de la tangente : L’équation de la tangente en a s’obtient avec la pente f'(a) et le point (a,f(a)).
• Dérivation des fonctions usuelles : Les règles de dérivation donnent directement f'(x) pour les constantes, identités et puissances.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé f'(a) est la pente de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.
• La tangente en a s’écrit y=f'(a)(x-a)+f(a).
• Les règles de linéarité et de produit s’appliquent : (ku)'=k u', (u+v)'=u'+v', (uv)'=u'v+uv'.
• La règle du quotient s’écrit (v/u)'=(v' u - v u')/u^2 avec u≠0.

💡 Astuce mémo

Pente en a : dérivée ; Tangente : y = pente×(x-a)+ordonnée.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P_A(B) mesure la chance de B sachant que A est réalisé.
• Formule des probabilités totales : La formule des probabilités totales exprime P(B) en sommant P(B∩A_i) sur une partition des cas A_i.
• Indépendance de deux événements : Deux événements sont indépendants si l’occurrence conjointe égale le produit de leurs probabilités.

📝 Points essentiels

• On calcule P_A(B)=P(A∩B)/P(A) en supposant P(A) non nulle.
• Si {A_1,...,A_n} est une partition, alors P(B)=∑_i P(B∩A_i).
• A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B).
• Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches suivies.

💡 Astuce mémo

Conditionnelle : intersection divisée par P(A) ; Indépendance : intersection = produit.

📖 6. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle associe à x la valeur e^x et reste strictement positive pour tout réel x.
• Propriété caractéristique : La fonction exponentielle est caractérisée par f'=f et la valeur initiale f(0)=1.
• Règles algébriques de e : Les règles e^{a+b}=e^a·e^b et (e^a)^n=e^{na} permettent de transformer des expressions exponentielles.

📝 Points essentiels

• La fonction f(x)=e^x est l’unique fonction telle que f'(x)=f(x) et f(0)=1.
• On a e≈2,718 et e^x>0 pour tout x réel, ce qui rend e^x strictement croissante.
• Pour la simplification : e^{a-b}=e^b/e^a et e^{-a}=1/e^a.
• La croissance exponentielle rapide est modélisée par e^{kx} avec k>0, tandis que e^{-kx} modélise une décroissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

e^x toujours positive ; e^{a+b} = e^a multiplicateur de e^b.

📖 7. Trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Enroulement : L’enroulement relie un angle en radians à un point du cercle unité, avec périodicité 2kπ.
• Parité cos et sin : La parité précise que cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x).
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables fournissent sin et cos pour des angles comme 0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2.

📝 Points essentiels

• Deux réels x et x+2kπ (k∈Z) correspondent au même point du cercle unité.
• cos est paire : cos(-x)=cos(x), tandis que sin est impaire : sin(-x)=-sin(x).
• Les valeurs fournies incluent cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, et cos(π/2)=0.
• Les valeurs fournies incluent sin(0)=0 et sin(π/6)=1/2, sin(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2, sin(π/2)=1.

💡 Astuce mémo

Paire/impair : cos garde le signe, sin le change quand on remplace x par -x.

📖 8. Variable aléatoire discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : La loi de probabilité décrit quelles valeurs X prend et avec quelles probabilités p_i.
• Espérance : L’espérance E(X) est la moyenne théorique pondérée par les probabilités des valeurs de X.
• Variance et écart-type : La variance V(X) mesure la dispersion autour de E(X) et l’écart-type σ(X) est sa racine.

📝 Points essentiels

• La loi doit vérifier ∑ p_i = 1 pour être valide.
• L’espérance s’écrit E(X)=∑ p_i x_i et correspond au gain moyen théorique.
• La variance s’écrit V(X)=∑ p_i(x_i-E(X))^2.
• Si E(X)=0, le jeu est qualifié d’équitable dans l’interprétation donnée.

💡 Astuce mémo

E : on “moyenne” (x_i) ; V : on “moyenne” (écart à E)².

📖 9. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme ∥u∥ mesure la longueur du vecteur u.
• Produit scalaire géométrique : Le produit scalaire s’exprime via ∥u∥, ∥v∥ et le cosinus de l’angle entre u et v.
• Orthogonalité : Deux vecteurs orthogonaux vérifient un produit scalaire nul.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire vaut u·v=∥u∥∥v∥cos(θ) où θ est l’angle entre u et v.
• L’orthogonalité se caractérise par u·v=0 ⟺ u ⊥ v.
• Le projeté orthogonal AB·AC vaut AB×AH si les vecteurs AB et AH sont de même sens et -AB×AH s’ils sont de sens contraire.
• Le calcul d’angle se fait avec cos(θ)= (u·v)/(∥u∥∥v∥) via la formule donnée.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : longueur×longueur×cos ; orthogonalité : zéro.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u_{n+1} (terme suivant) et u_n+1 (valeur augmentée de 1) conduit à des comparaisons de signes ou de quotients fausses.
2. Généraliser la monotonie à partir des premiers termes sans repérer le rang p peut donner une conclusion incorrecte sur toute la suite.
3. Mélanger Δ=b^2-4ac avec les racines ou oublier le rôle de a fait échouer le tableau des signes et le nombre de solutions.
4. Écrire la tangente sans utiliser f'(a)(x-a)+f(a) ou inverser la pente et l’ordonnée empêche de retrouver correctement l’équation.
5. Utiliser P(A∩B) au lieu de P(A∩B)/P(A) pour une probabilité conditionnelle donne un résultat incohérent.
6. Oublier que e^x>0 et que e^x est strictement croissante peut amener à confondre comportement exponentiel et fonctions classiques.
7. Se tromper de parité entre sin et cos (par exemple croire que sin est pair) fausse immédiatement les valeurs pour les angles négatifs.

✅ Checklist Examen

1. Savoir distinguer génération explicite et génération par récurrence et déterminer les termes à partir de u_0 ou u_1.
2. Savoir étudier une suite numérique avec la différence u_{n+1}-u_n et le quotient u_{n+1}/u_n quand u_n>0.
3. Savoir utiliser les formules générales d’une suite arithmétique u_n=u_p+(n-p)r et d’une suite géométrique u_n=u_p·q^{n-p}.
4. Savoir calculer une somme géométrique pour q≠1 et reconnaître le nombre de termes n-p+1.
5. Savoir calculer et interpréter le discriminant Δ=b^2-4ac pour décider du nombre de solutions.
6. Savoir écrire les racines et utiliser le tableau de signe de f(x) selon le signe de Δ et de a.
7. Savoir définir le nombre dérivé comme limite du taux de variation et écrire l’équation de la tangente.
8. Savoir appliquer les règles de dérivation pour somme, produit et quotient ainsi que (ku)'=k u'.
9. Savoir calculer une probabilité conditionnelle P(A∩B)/P(A) et reconnaître la formule des probabilités totales sur une partition.
10. Savoir utiliser l’indépendance P(A∩B)=P(A)P(B) et raisonner sur un arbre pondéré via le produit des branches.
11. Savoir utiliser la propriété caractéristique f'=f et f(0)=1 pour f(x)=e^x.
12. Savoir transformer des expressions avec e^{a+b}=e^a e^b, e^{-a}=1/e^a, et (e^a)^n=e^{na}.
13. Savoir exploiter la périodicité x et x+2kπ et appliquer les parités cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x).
14. Savoir reconnaître et réutiliser les valeurs remarquables de sin et cos fournies aux angles cités.