Quiz: Introduction aux suites, fonctions et probabilités — 18 Fragen

1. Quelle est la définition d’une suite donnée par récurrence ?

A. Chaque terme est défini par une expression trigonométrique en fonction de n

B. Chaque terme est obtenu uniquement à partir de la somme des termes précédents

C. Chaque terme est calculé directement à partir de n par une formule

D. Chaque terme dépend du terme précédent grâce à une relation de récurrence

Answer: (D)

Erklärung

Une suite est définie par récurrence quand un terme dépend du précédent, par exemple sous la forme u_{n+1}=f(u_n). La définition directe à partir de n correspond au cas explicite, pas à la récurrence.

2. Pour étudier la croissance d’une suite, que faut-il examiner en premier ?

A. Le signe de u_{n+1}-u_n

B. Le signe de u_{n+1}/u_n dans tous les cas

C. Le signe de u_n+u_{n+1}

D. La valeur absolue de u_n

Answer: (A)

Erklärung

La variation d’une suite se détermine en étudiant le signe de u_{n+1}-u_n. Le quotient u_{n+1}/u_n n’est utilisé que lorsque u_n est strictement positif.

3. Quelle relation caractérise une suite arithmétique ?

A. u_{n+1}=u_n+r avec r constant

B. u_{n+1}=u_n^2+r

C. u_{n+1}=u_n×q avec q constant

D. u_{n+1}=r/u_n

Answer: (A)

Erklärung

Une suite arithmétique évolue par ajout d’une même constante r à chaque terme. La relation avec un facteur multiplicatif constant correspond à une suite géométrique.

4. Quelle est l’expression de la somme 1+q+q^2+…+q^n lorsque q≠1 ?

A. (n+1)×q

B. (q^{n+1}-1)/(q-1) uniquement si q=1

C. (1-q^n)/(1-q)

D. (1-q^{n+1})/(1-q)

Answer: (D)

Erklärung

La somme géométrique de 1 à q^n vaut (1-q^{n+1})/(1-q) quand q≠1. Cette formule repose sur le nombre de termes égal à n+1.

5. Quel est le discriminant d’un trinôme ax^2+bx+c ?

A. b^2+4ac

B. 2a-b+c

C. a^2-4bc

D. b^2-4ac

Answer: (D)

Erklärung

Le discriminant d’un trinôme du second degré est Δ=b^2-4ac. Il permet de déterminer le nombre de racines réelles et le signe de la fonction.

6. Si le discriminant d’une équation du second degré est strictement négatif, quelle affirmation est correcte ?

A. L’équation admet une racine réelle double

B. L’équation admet deux racines réelles

C. L’équation admet toujours une racine rationnelle

D. L’équation n’admet aucune racine réelle

Answer: (D)

Erklärung

Lorsque Δ<0, il n’existe aucune racine réelle. Dans ce cas, le trinôme garde partout le signe de a sur ℝ.

7. Que représente le nombre dérivé f'(a) ?

A. L’aire sous la courbe en a

B. L’ordonnée du point de contact

C. La valeur de f(a+1)-f(a)

D. La pente de la tangente en a

Answer: (D)

Erklärung

Le nombre dérivé f'(a) correspond à la pente de la tangente au point d’abscisse a. Il est défini comme la limite du taux de variation quand h tend vers 0.

8. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y=f(a)+f'(a)

B. y=f'(a)(x-a)+f(a)

C. y=f(a)(x-a)+f'(a)

D. y=f'(x)(a-x)+f(a)

Answer: (B)

Erklärung

La tangente en a s’écrit y=f'(a)(x-a)+f(a). Cette forme montre qu’elle passe par (a,f(a)) et qu’elle a pour pente f'(a).

9. Quelle est la formule de la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

A. P(A∩B)/P(A)

B. P(A)+P(B)

C. P(B∩A)/P(B)

D. P(A)×P(B)

Answer: (A)

Erklärung

La probabilité conditionnelle de B sachant A est P_A(B)=P(A∩B)/P(A), à condition que P(A)≠0. Elle mesure la probabilité de B dans le cadre où A est réalisé.

10. Que signifie l’indépendance de deux événements A et B ?

A. P(A∪B)=P(A)×P(B)

B. P(A)=P(B)

C. P(A∩B)=P(A)+P(B)

D. P(A∩B)=P(A)×P(B)

Answer: (D)

Erklärung

Deux événements sont indépendants lorsque la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités. C’est le critère fondamental d’indépendance dans ce cadre.

11. Comment s’écrit la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque la probabilité de A est non nulle ?

A. P(A) × P(B)

B. P(A∪B) / P(A)

C. P(A) / P(A∩B)

D. P(A∩B) / P(A)

Answer: (D)

Erklärung

La probabilité conditionnelle de B sachant A se définit par le rapport P(A∩B)/P(A), à condition que P(A) ne soit pas nulle. Le produit P(A)×P(B) correspond plutôt au cas d’indépendance.

12. Quand deux événements A et B sont indépendants, quelle égalité est vérifiée ?

A. P_A(B)=P(A)

B. P(B|A)=P(A∪B)

C. P(A∩B)=P(A)×P(B)

D. P(A∩B)=P(A)+P(B)

Answer: (C)

Erklärung

L’indépendance signifie que la probabilité de l’intersection est le produit des probabilités. Les autres propositions ne caractérisent pas l’indépendance.

13. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle vérifie f'=1/f et f(0)=0

B. Elle vérifie f'=f et f(0)=1

C. Elle est périodique de période 2π

D. Elle prend des valeurs uniquement positives ou nulles

Answer: (B)

Erklärung

La fonction exponentielle est l’unique fonction telle que sa dérivée est elle-même et qui vaut 1 en 0. Elle est bien strictement positive, mais l’énoncé proposé sur les valeurs nulles est faux.

14. Quelle identité est correcte pour les exponentielles ?

A. e^{a+b}=e^a+e^b

B. (e^a)^n=e^{a+n}

C. e^{a-b}=e^a×e^b

D. e^{a+b}=e^a×e^b

Answer: (D)

Erklärung

La règle de produit des exposants donne e^{a+b}=e^a×e^b. On a aussi e^{a-b}=e^a/e^b et (e^a)^n=e^{na}.

15. Sur le cercle trigonométrique, que représente l’angle x+2kπ par rapport à l’angle x ?

A. Un point situé à une distance angulaire différente et non équivalente

B. Le point opposé sur le cercle

C. Le même point du cercle

D. Un point obtenu par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées

Answer: (C)

Erklärung

Ajouter un multiple de 2π ne change pas le point atteint sur le cercle trigonométrique. Cela traduit la périodicité de 2π.

16. Quelle égalité de parité est correcte pour le sinus et le cosinus ?

A. cos(-x)=1/cos(x) et sin(-x)=1/sin(x)

B. cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x)

C. cos(-x)=sin(x) et sin(-x)=cos(x)

D. cos(-x)=-cos(x) et sin(-x)=sin(x)

Answer: (B)

Erklärung

Le cosinus est une fonction paire et le sinus est une fonction impaire. C’est pourquoi cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x).

17. Quelle formule donne l’espérance d’une variable aléatoire discrète X prenant les valeurs x_i avec les probabilités p_i ?

A. E(X)=∑ (x_i-E(X))^2

B. E(X)=√V(X)

C. E(X)=∑ p_i x_i

D. E(X)=∑ p_i

Answer: (C)

Erklärung

L’espérance est la somme pondérée des valeurs possibles par leurs probabilités. La somme des probabilités vaut 1, tandis que la racine de la variance correspond à l’écart-type.

18. Quelle relation définit l’écart-type d’une variable aléatoire discrète X ?

A. σ(X)=√V(X)

B. σ(X)=∑ p_i x_i

C. σ(X)=V(X)^2

D. σ(X)=E(X)^2

Answer: (A)

Erklärung

L’écart-type est, par définition, la racine carrée de la variance. La formule de l’espérance est différente et ne donne pas la dispersion.