Lernzettel: Introduction aux suites, fonctions et probabilités

📋 Plan du Cours

1. Suites numériques : définitions et variations
2. Suites arithmétiques et géométriques
3. Équations du second degré
4. Dérivation et tangente
5. Probabilités conditionnelles
6. Fonction exponentielle
7. Trigonométrie sur le cercle
8. Variable aléatoire discrète
9. Produit scalaire

📖 1. Suites numériques : définitions et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Génération explicite : Une suite est définie explicitement quand chaque terme u_n s’obtient directement à partir de n par une formule f(n).
• Génération en récurrence : Une suite est définie par récurrence quand u_{n+1} dépend du terme précédent u_n via une relation u_{n+1}=f(u_n).
• Différence de rangs : Comparer u_{n+1}-u_n permet d’étudier la variation en regardant le signe de cette différence.
• Quotient de rangs : Quand u_n>0, comparer u_{n+1}/u_n à 1 renseigne sur la variation via un rapport au terme précédent.

📝 Points essentiels

• En génération explicite, u_n=f(n) donne n’importe quel terme directement sans connaître les précédents.
• En génération par récurrence, il faut un premier terme, noté u_0 ou u_1, pour démarrer la construction.
• Pour étudier la croissance ou la décroissance, on étudie le signe de u_{n+1}-u_n et pas d’une formule de type u_n+1.
• Sur une suite, la monotonie peut seulement apparaître à partir d’un rang p, donc on évite de conclure dès les premiers termes.
• Le test par quotient s’utilise quand u_n>0 et consiste à étudier le signe de (u_{n+1}/u_n)-1 plutôt que d’autres comparaisons.

📖 2. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie une évolution linéaire de terme en terme par u_{n+1}=u_n+r avec r réel constant.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie une évolution à taux constant par u_{n+1}=u_n×q avec q réel constant.
• Somme géométrique : La somme des termes d’une suite géométrique se calcule avec une formule dédiée lorsque le rapport n’est pas égal à 1.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, la formule générale s’écrit u_n=u_p+(n-p)r et devient u_n=u_0+nr si p=0.
• Pour une suite géométrique, la formule générale s’écrit u_n=u_p×q^{n-p} et devient u_n=u_0×q^n si p=0.
• La somme des termes géométriques de u_p à u_n contient exactement n-p+1 termes.
• Si q≠1, la somme géométrique s’écrit avec le facteur (1-q^{nombre de termes}) divisé par (1-q).
• La somme 1+q+q^2+…+q^n vaut (1-q^{n+1})/(1-q) quand q≠1.

📖 3. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme développé : Un trinôme du second degré s’écrit f(x)=ax^2+bx+c avec a non nul, ce qui conditionne la forme de la courbe et le discriminant.
• Forme canonique : Une forme canonique regroupe un trinôme sous la forme f(x)=a(x-α)^2+β, avec α=-b/(2a) et β=f(α).
• Discriminant : Le discriminant Δ=b^2-4ac caractérise le nombre de racines et le signe de f(x) selon Δ.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=ax^2+bx+c, l’abscisse du sommet vaut α=-b/(2a) et le sommet a pour ordonnée β=f(α).
• Si Δ>0, l’équation admet deux racines x_{1,2}=(-b±√Δ)/(2a) et le signe de f(x) suit celui de a à l’extérieur des racines.
• Si Δ=0, il y a une racine unique x_0=-b/(2a) et f(x) garde le signe de a (sauf en x_0).
• Si Δ<0, il n’y a aucune racine réelle et f(x) garde toujours le signe de a sur ℝ.
• Les formules de racines utilisent systématiquement le dénominateur 2a et la racine carrée de Δ.

📖 4. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé f'(a) : Le nombre dérivé f'(a) est la limite du taux de variation (f(a+h)-f(a))/h quand h tend vers 0.
• Équation de la tangente : La tangente en a s’écrit y=f'(a)(x-a)+f(a), ce qui relie pente et point de contact.
• Règle de dérivation du produit : La dérivée d’un produit s’obtient avec la formule (uv)'=u'v+uv'.
• Règle de dérivation du quotient : La dérivée d’un quotient s’obtient avec (u/v)'=(u'v-uv')/v^2.

📝 Points essentiels

• Le nombre dérivé f'(a) correspond à la pente de la tangente en a.
• La tangente en a passe par le point (a,f(a)) et a pour pente f'(a).
• Tableau utile : (1/x)'=-1/x^2 pour x≠0 et (√x)'=1/(2√x) pour x>0.
• Règles : (ku)'=ku' et (u+v)'=u'+v' s’appliquent directement à la dérivation.
• Les formules (uv)' et (u/v)' servent à calculer des dérivées sans développer au hasard.
• Les conditions de validité (x≠0, x>0) doivent être respectées avant d’utiliser les dérivées du tableau.

📖 5. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P_A(B) mesure la probabilité de B sachant que A est réalisé.
• Partition de l’univers : Une partition {A_1,...,A_n} décompose l’univers en événements disjoints dont la réunion vaut Ω.
• Indépendance : L’indépendance de A et B signifie que la probabilité conjointe vaut le produit des probabilités.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle s’écrit P_A(B)=P(A∩B)/P(A), ce qui suppose P(A)≠0.
• La formule des probabilités totales donne P(B)=∑_{i=1..n} P(B∩A_i) pour une partition de Ω.
• Si A et B sont indépendants, alors P(A∩B)=P(A)×P(B).
• Sur un arbre pondéré, la probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches.
• Sur un même nœud, la somme des probabilités sortantes vaut 1, ce qui garantit la cohérence du modèle.

📖 6. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition e^x : La fonction exponentielle est définie par f(x)=e^x et caractérisée par la relation f'=f avec f(0)=1.
• Propriétés d’exponentiation : Les lois sur les exponentielles relient e^{a+b}, e^{-a}, e^{a-b} et (e^a)^n à des produits ou quotients.
• Monotonie de e^x : La fonction exponentielle vérifie e^x>0 pour tout réel et est strictement croissante.

📝 Points essentiels

• La fonction exp est l’unique fonction telle que f'=f et f(0)=1.
• On utilise e^{a+b}=e^a×e^b, e^{-a}=1/e^a et e^{a-b}=e^a/e^b.
• On a aussi (e^a)^n=e^{na}.
• Pour tout x réel, e^x>0 et la fonction est strictement croissante.
• Le modèle f(x)=e^{kx} (k>0) décrit une croissance exponentielle rapide, tandis que f(x)=e^{-kx} (k>0) décrit une décroissance exponentielle.

📖 7. Trigonométrie sur le cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Enroulement sur le cercle : Sur le cercle de rayon 1, deux angles x et x+2kπ (k entier) correspondent au même point.
• Parité cosinus et sinus : La parité exprime que cos(-x)=cos(x) et sin(-x)=-sin(x).
• Valeurs remarquables : Les tableaux donnent les valeurs de sin et cos pour des angles radian précis comme π/6, π/4, π/3 et π/2.

📝 Points essentiels

• Le cercle de rayon 1 relie les réels via l’angle en radians et impose une périodicité de 2π.
• On remplace un angle par un angle équivalent modulo 2π pour retrouver le même point du cercle.
• Cosinus est pair et sinus est impair, donc on simplifie les expressions avec cos(-x) et sin(-x).
• Valeurs à connaître : cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0, cos(π)=-1.
• Valeurs à connaître : sin(0)=0, sin(π/6)=1/2, sin(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2, sin(π/2)=1, sin(π)=0.

📖 8. Variable aléatoire discrète

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : Une loi discrète associe à chaque valeur x_i une probabilité p_i telle que la somme des p_i vaille 1.
• Espérance E(X) : L’espérance E(X) est la somme pondérée des valeurs x_i par leurs probabilités p_i.
• Variance V(X) : La variance V(X) mesure la dispersion autour de l’espérance via la moyenne des carrés des écarts (x_i-E(X))^2.
• Écart-type σ(X) : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance V(X).

📝 Points essentiels

• La loi de probabilité doit vérifier ∑ p_i=1 pour que la modélisation soit cohérente.
• L’espérance s’écrit E(X)=∑ p_i x_i et correspond au gain moyen théorique.
• La variance se calcule avec V(X)=∑ p_i(x_i-E(X))^2.
• L’écart-type vaut σ(X)=√V(X).
• Si E(X)=0, le jeu est dit équitable selon l’interprétation donnée.

📖 9. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire géométrique : Le produit scalaire relie les longueurs et l’angle entre deux vecteurs par u·v=||u||·||v||·cos(u,v).
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire vaut 0, ce qui signifie cos vaut 0.
• Projection via signe : Le produit scalaire exprime aussi une projection, avec un signe déterminé par l’angle (0 ou π) dans le cas présenté.

📝 Points essentiels

• Formule géométrique : u·v=||u||·||v||·cos( u,v ).
• Si AB et AH sont de même sens, alors AB·AH=AB×AH ; s’ils sont de sens contraire, le produit vaut -AB×AH.
• Norme : la norme d’un vecteur est notée ||u||.
• Orthogonalité : u·v=0 équivaut à u⊥v et sert pour prouver qu’un triangle est rectangle.
• Calcul d’angle : cos(θ)=(u·v)/(||u||·||v||).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u_{n+1} avec u_n+1 lors de l’étude des variations.
2. Conclure trop vite sur la monotonie en oubliant qu’elle peut n’apparaître qu’à partir d’un rang p.
3. Utiliser une formule explicite sans vérifier qu’on est bien dans le cas “explicite” et pas “récurrence”.
4. Appliquer des dérivées du tableau sans respecter les domaines (par exemple 1/x pour x≠0 et √x pour x>0).
5. Oublier que la formule des probabilités totales exige une partition disjointe couvrant Ω.
6. Se tromper de discriminant (Δ=b^2-4ac) ou inverser la règle de signe selon le signe de a quand Δ≤0.
7. Se tromper d’angle en radians ou oublier la périodicité de 2π dans la lecture des valeurs remarquables.

✅ Checklist Examen

1. Savoir distinguer génération explicite et génération par récurrence, et identifier la donnée initiale nécessaire en récurrence.
2. Savoir tester la variation d’une suite en utilisant le signe de u_{n+1}-u_n et/ou, si u_n>0, la comparaison de u_{n+1}/u_n à 1.
3. Savoir utiliser les formules des suites arithmétiques u_n=u_p+(n-p)r et celles obtenues pour p=0.
4. Savoir utiliser les formules des suites géométriques u_n=u_p×q^{n-p} et celles obtenues pour p=0.
5. Savoir calculer une somme géométrique quand q≠1 et déterminer le nombre de termes n-p+1.
6. Savoir passer de la forme développée f(x)=ax^2+bx+c à la forme canonique avec α=-b/(2a) et β=f(α).
7. Savoir conclure le nombre de racines et le signe de f(x) à partir de Δ=b^2-4ac : Δ>0, Δ=0, Δ<0.
8. Savoir écrire la tangente en a avec y=f'(a)(x-a)+f(a) et interpréter f'(a) comme pente.
9. Savoir calculer une dérivée avec les règles d’opérations (produit et quotient compris) et appliquer les conditions de validité du tableau.
10. Savoir calculer une probabilité conditionnelle P_A(B) avec P(A∩B)/P(A).
11. Savoir appliquer les probabilités totales à partir d’une partition et sommer les termes P(B∩A_i).
12. Savoir décider l’indépendance avec la relation P(A∩B)=P(A)×P(B).
13. Savoir utiliser l’arbre pondéré : probabilité d’un chemin = produit et somme des probabilités sortantes =1.
14. Savoir utiliser les lois de e : e^{a+b}, e^{-a}, e^{a-b} et (e^a)^n.