Lernzettel: Introduction aux suites mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une suite
2. Suites arithmétiques
3. Suites géométriques
4. Suites arithmético-géométriques
5. Limites et suites adjacentes
6. Raisonnement par récurrence
7. Algorithmes sur les suites

📖 1. Définition d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Une suite est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre uₙ, notée généralement (uₙ).
• Terme général : Le terme général uₙ est l’expression explicite donnant uₙ en fonction de n.
• Relation de récurrence : Une relation de récurrence définit uₙ₊₁ à partir de uₙ par une formule uₙ₊₁=f(uₙ).

📝 Points essentiels

• Une suite est définie sur ℕ (ou sur ℕ*={1,2,3,...}) et on parle de terme uₙ à l’indice n.
• On peut définir une suite soit par un terme général uₙ, soit par une relation de récurrence reliant uₙ₊₁ à uₙ.

💡 Astuce mémo

Suite = fonction de l’indice : uₙ code le n-ième terme.

📖 2. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique quand la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison r : La raison r est la constante représentant l’écart uₙ₊₁−uₙ dans une suite arithmétique.
• Somme Sₙ : La somme Sₙ désigne l’addition des n premiers termes d’une suite : Sₙ=u₁+u₂+…+uₙ.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, on a la récurrence uₙ₊₁=uₙ+r avec u₁ donné.
• La formule explicite est uₙ=u₁+(n−1)r.
• La somme des n premiers termes vérifie Sₙ=(n/2)(u₁+uₙ) et aussi Sₙ=(n/2)(2u₁+(n−1)r).
• Exemple : si u₁=3 et r=2 alors uₙ=3+(n−1)·2=2n+1.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = écart fixe : uₙ augmente de r à chaque pas.

📖 3. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique quand le quotient entre deux termes consécutifs est constant non nul.
• Raison q : La raison q est la constante représentant uₙ₊₁/uₙ dans une suite géométrique.
• Somme Sₙ géométrique : La somme Sₙ d’une suite géométrique est la somme des n premiers termes.

📝 Points essentiels

• Dans une suite géométrique, la récurrence est uₙ₊₁=q·uₙ avec q≠0.
• La formule explicite est uₙ=u₁·qⁿ⁻¹.
• Si q≠1, alors Sₙ=u₁(1−qⁿ)/(1−q), et si q=1 alors Sₙ=n·u₁.
• Pour les limites : |q|<1 donne uₙ→0, |q|>1 donne |uₙ|→+∞, q=1 donne une suite constante, q=−1 donne une alternance.
• Exemple : u₁=2 et q=3 entraîne uₙ=2·3ⁿ⁻¹.

💡 Astuce mémo

Géométrique = multiplication fixe : on passe de uₙ à uₙ₊₁ en multipliant par q.

📖 4. Suites arithmético-géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmético-géométrique : Une suite arithmético-géométrique vérifie une récurrence uₙ₊₁=a·uₙ+b avec a et b constants.
• Point fixe u : Le point fixe est la valeur u telle que u=a·u+b, utilisée pour simplifier la récurrence.
• Écart vₙ : L’écart vₙ mesure la différence entre uₙ et le point fixe : vₙ=uₙ−u.

📝 Points essentiels

• On cherche u via l’équation u=a·u+b, ce qui donne u=b/(1−a) si a≠1.
• En posant vₙ=uₙ−u, on obtient une suite vₙ₊₁=a·vₙ, donc vₙ est géométrique.
• Ensuite on récupère uₙ par uₙ=vₙ+u.
• Exemple : pour uₙ₊₁=0,8uₙ+10, on utilise le point fixe puis l’écart pour transformer en géométrique.

💡 Astuce mémo

Arithmético-géométrique = on enlève le point fixe pour ne garder qu’un facteur a.

📖 5. Limites et suites adjacentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie ℓ : Une suite admet une limite finie ℓ si, à partir d’un certain rang, les termes uₙ restent aussi proches que voulu de ℓ.
• Limite infinie +∞ : Une suite a pour limite +∞ si, à partir d’un certain rang, uₙ dépasse tout seuil M>0.
• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si aₙ≤bₙ pour tout n et si bₙ−aₙ tend vers 0.
• Théorème des gendarmes : Le théorème des gendarmes établit la limite d’une suite encadrée par deux suites convergeant vers la même valeur.

📝 Points essentiels

• Si (uₙ) est arithmétique de raison r≠0, alors sa limite vaut ±∞.
• Pour une suite géométrique : |q|<1 donne limite 0, |q|>1 donne ±∞, et q=1 donne limite u₁.
• Théorème de comparaison : si uₙ≤vₙ pour tout n et que vₙ→ℓ, alors uₙ→ℓ sous les conditions de validité du cadre des limites du cours.
• Suites adjacentes : aₙ≤bₙ et bₙ−aₙ→0 entraînent la convergence des deux suites vers une même limite.

💡 Astuce mémo

Adjacentes = deux barrières qui se rejoignent : bₙ−aₙ→0 donc même limite.

📖 6. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété P(n) : Une récurrence sert à prouver qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les n à partir d’un rang n₀.
• Initialisation : L’initialisation consiste à vérifier la propriété pour le premier rang n₀ choisi.
• Hérédité : L’hérédité est l’étape où l’on montre que si P(k) est vraie alors P(k+1) est vraie.

📝 Points essentiels

• Le schéma de preuve démarre par l’initialisation P(n₀), puis passe à l’hérédité P(k)⇒P(k+1), et conclut sur tous les n≥n₀.
• Une forme classique donne la somme 1+2+…+n=n(n+1)/2 par récurrence.
• La récurrence peut aussi servir à démontrer des inégalités comme uₙ≥n pour une suite définie par récurrence, en utilisant l’hypothèse de rang k.

💡 Astuce mémo

Initialisation puis Hérédité : la vérité “avance” de k à k+1.

📖 7. Algorithmes sur les suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul itératif : Un calcul itératif met à jour une valeur u à chaque étape en appliquant la relation de récurrence.
• Somme S : Le calcul de somme consiste à accumuler S en ajoutant successivement les termes de la suite.
• Seuil (rang d’atteinte) : Le rang d’atteinte d’un seuil est le plus petit n pour lequel uₙ dépasse une valeur donnée seuil.

📝 Points essentiels

• Pour calculer des termes, on répète la mise à jour u=f(u) dans une boucle en incrémentant l’indice jusqu’à atteindre N.
• Pour calculer Sₙ, on initialise S=0 puis, dans une boucle, on ajoute u à S avant de mettre à jour u selon la récurrence.
• Pour trouver le premier rang où uₙ dépasse un seuil, on boucle tant que u < seuil et on incrémente n après mise à jour.
• Exemple Bac type : pour uₙ₊₁=0,8uₙ+10 et u₁=50, on cherche le plus petit n tel que uₙ>90.

💡 Astuce mémo

Boucle while : on met à jour u, puis on avance n jusqu’à dépasser le seuil.

📊 Tableaux de synthèse

Limites : arithmétique vs géométrique

Type de suite	Condition	Comportement de la limite
Arithmétique	raison r≠0	lim uₙ = ±∞
Géométrique	|q|<1	uₙ → 0
Géométrique	|q|>1	|uₙ| → +∞
Géométrique	q=1	uₙ reste égal à u₁

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre différence constante (arithmétique) et quotient constant (géométrique).
2. Oublier que la raison géométrique q doit être non nulle, sinon le quotient n’a pas de sens.
3. Se tromper entre les formules de somme géométrique selon q≠1 ou q=1.
4. Prendre une suite arithmétique de raison r≠0 pour une suite convergente : elle diverge vers ±∞.
5. Démarrer une preuve par récurrence sans vérifier l’initialisation du rang n₀.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une suite est arithmétique en vérifiant que uₙ₊₁−uₙ est constante.
2. Calculer uₙ d’une suite arithmétique avec uₙ=u₁+(n−1)r.
3. Calculer Sₙ d’une suite arithmétique à partir de Sₙ=(n/2)(u₁+uₙ).
4. Identifier si une suite est géométrique en vérifiant que uₙ₊₁/uₙ est constante non nulle.
5. Calculer uₙ d’une suite géométrique avec uₙ=u₁·qⁿ⁻¹.
6. Calculer Sₙ d’une suite géométrique en distinguant q≠1 et q=1.
7. Donner le comportement des limites d’une suite géométrique selon |q| et la valeur de q.
8. Résoudre une suite arithmético-géométrique uₙ₊₁=a·uₙ+b via point fixe puis transformation vₙ=uₙ−u.
9. Connaître la condition de définition des suites adjacentes et leur conséquence sur la même limite.
10. Rédiger une preuve par récurrence en séparant initialisation, hérédité et conclusion.
11. Construire un algorithme en boucle pour calculer des termes u=f(u) jusqu’à N.
12. Construire un algorithme pour calculer une somme S en accumulant u avant de la mettre à jour.
13. Écrire un algorithme pour déterminer le premier rang n tel que uₙ dépasse un seuil donné.