Lernzettel: Introduction aux variables et suites

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires
2. Loi de probabilité
3. Espérance, variance et écart-type
4. Droites, cercles et orthogonalité
5. Fonction exponentielle
6. Dérivation et variations
7. Produit scalaire et coordonnées
8. Projeté orthogonal et colinéarité
9. Vecteurs et opérations
10. Suites géométriques
11. Suites arithmétiques

📖 1. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire est une quantité X qui associe à chaque issue un nombre réel.
• Univers des possibles : L’univers des possibles est l’ensemble des issues de l’expérience aléatoire auxquelles la variable attribue une valeur.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité associe à chaque valeur possible xi la probabilité pi = P(X = xi).

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs x1, x2, ..., xn, sa loi de probabilité décrit toutes les probabilités P(X = xi).
• Pour un lancer de dé, avec S = {1,2,3,4,5,6}, on a P(X=xi)=1/6 pour chaque face.
• Dans l’exemple carte (gain 5€ pour un roi, sinon -1€), la loi de X commence par P(X=5)=? et le reste correspond aux autres cartes.

💡 Astuce mémo

Valeurs possibles → probabilités : loi de probabilité = tableau P(X=xi).

📖 2. Loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité P(X = xi) : La probabilité P(X = xi) mesure la chance que la variable aléatoire prenne exactement la valeur xi.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer une loi de probabilité, on liste toutes les valeurs possibles de X puis on calcule chaque P(X=xi).
• Si X est la plus grande valeur de deux dés (12 issues équiprobables par paire ordonnée), alors P(X=6)=11/36.
• Dans le même exemple, on obtient P(X=5)=8/36=2/9, P(X=4)=6/36=1/6, P(X=3)=5/36, P(X=2)=3/36=1/12 et P(X=1)=1/36.
• On vérifie toujours que la somme des probabilités de la loi de X est égale à 1.

💡 Astuce mémo

Deux dés : grand max = 6 d’abord, puis 5,4,3,2,1 avec des fractions sur 36.

📖 3. Espérance, variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance : L’espérance E(X) est la moyenne pondérée des valeurs xi par leurs probabilités pi.
• Variance : La variance V(X) est la somme des carrés des écarts (xi−E(X)) pondérés par pi.
• Écart-type : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance V(X).

📝 Points essentiels

• La formule de l’espérance s’écrit E(X)=Σ pi xi avec pi=P(X=xi).
• La variance se calcule avec V(X)=Σ pi (xi−E(X))^2.
• L’écart-type vérifie σ(X)=√V(X).
• Dans l’exemple carte (valeurs -1,2,5 avec P(5)=1/32, P(2)=3/32, P(-1)=28/32), l’espérance et l’écart-type se calculent à partir de ces probabilités.

💡 Astuce mémo

E = moyenne pondérée ; V = moyenne des carrés des écarts ; σ = racine de V.

📖 4. Droites, cercles et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite non verticale : Une droite non verticale peut s’écrire sous la forme y = mx + p, avec m et p réels.
• Droite verticale : Une droite verticale peut s’écrire sous la forme z = 1 (dans le cours, expression de droite verticale).
• Équation cartésienne d’une droite : Une droite peut aussi s’écrire ax + by + c = 0, avec a, b, c réels.
• Équation d’un cercle : Un cercle de centre (x0,y0) et de rayon r vérifie (x−x0)^2+(y−y0)^2=r^2.

📝 Points essentiels

• Si A(x,y,z) appartient à une droite décrite par ax+by+cz=0, alors les coordonnées vérifient bien ax+by+cz=0.
• Deux droites (d) et (d’) sont perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire de leurs vecteurs normaux vérifie n · n' = 0.
• Un cercle a pour équation (x−x0)^2+(y−y0)^2=r^2 et le cours précise que la réciproque n’est pas vraie.
• Exemple de cercle : (x−2)^2+(y−6)^2=4^2 a pour centre A(2,6) et rayon 4.

💡 Astuce mémo

Perpendiculaire ⇔ n·n’=0 ; Cercle ⇔ (x−x0)^2+(y−y0)^2=r^2.

📖 5. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est la fonction unique sur ℝ telle que f(x)=e^x.
• Propriété de signe de e^x : La valeur e^x est strictement positive pour tout réel x.
• Croissance de e^x : La fonction e^x est strictement croissante sur ℝ.
• Équivalence près de 0 : Près de 0, l’exponentielle vérifie l’approximation e^x ≃ 1 + x dans le cours.

📝 Points essentiels

• Il existe une fonction exponentielle unique telle que f(x)=e^x, notée f(x)=exp(x).
• On a e^0=1 et e^x>0 pour tout réel x.
• La fonction e^x est strictement croissante.
• L’étude du cours relie aussi des inégalités via e^x : e^x>e^y est équivalent à x>y et e^x<e^y équivaut à x<y.
• Pour un exponentiel, e^x = a et e^x = b sont des équations traitées avec les relations de comparaison via les exposants.

💡 Astuce mémo

Comparaison exponentielle : même base e^x ⇒ comparaison des exposants x ↔ y.

📖 6. Dérivation et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de e^x : La dérivée de e^x est e^x dans le cours.
• Dérivée de e^{mx} : La dérivée de f(x)=e^{mx} vaut mxe^{mx} dans le cours.
• Tableau de variations : Un tableau de signe de la dérivée permet de déduire les intervalles de croissance et de décroissance.

📝 Points essentiels

• Si f(x)=e^{mx}, alors f’(x)=mxe^{mx}.
• Pour f(x)=(3x+2)e^x, la dérivée trouvée dans le cours est f’(x)=(6x+5)e^x et l’annulation donne x=−5/6.
• L’étude de variations utilise le signe de f’(x) : e^x est toujours strictement positif, donc le signe dépend de la partie linéaire.
• Pour f(x)=e^{-2x}−e^{-x}, le cours factorise f’(x)=e^{-x}(-2e^{-x}+1) pour étudier le signe.
• Le minimum annoncé dans le cours est lié à la valeur f(x)>1 et à la définition g(x)=e^{-x}−1 avec g(0)=0.

💡 Astuce mémo

Astuce type : factoriser par l’exponentielle (toujours >0) pour ne garder que le signe de la partie restante.

📖 7. Produit scalaire et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur AB : Le vecteur AB est défini par AB = (x_B−x_A, y_B−y_A) à partir des coordonnées de A et B.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur u(x,y) vaut ||u||=√(x^2+y^2) dans le repère orthonormé.
• Produit scalaire en coordonnées : Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x,y) et v(x’,y’) vaut u·v=xx’+yy’.

📝 Points essentiels

• Si u(x,y) et v(x’,y’) sont dans un repère orthonormé, alors u·v=xx’+yy’.
• Pour démonstration au cours, on obtient aussi u·v=1/2( ||u+v||^2−||u||^2−||v||^2 ).
• Dans le repère orthonormé, les vecteurs i et j sont orthogonaux et vérifient ||i||=||j||=1 et i·j=0.
• Le cours rappelle la formule géométrique : AB·AC=|AB||AC|cos(BAC).
• Exemple fourni : dans un carré de côté 8, on calcule AB·AC = 8×8×cos45° = 64.

💡 Astuce mémo

Coordonnées → u·v = produit des abscisses + produit des ordonnées : xx’+yy’.

📖 8. Projeté orthogonal et colinéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Projeté orthogonal : Le projeté orthogonal de M sur une droite d est le point H sur d tel que (MH) soit perpendiculaire à d.
• Colinéarité : Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel λ tel que v = λu dans le cours.
• Orthogonalité : Deux vecteurs colinéaires perpendiculaires ont un produit scalaire nul dans le cours.

📝 Points essentiels

• Si H est le projeté orthogonal de M sur une droite d, alors H ∈ d et (MH) ⟂ d.
• Dans la décomposition AB·AC = AB·AH + AB·HC, le cours supprime le terme AB·HC car (HC) est orthogonal à AB.
• Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB), alors AB·AC = |AB||AH| car cos(0)=1.
• Le produit scalaire vérifie AB·AC = |AB||AC|cos(BAC), et si AC est colinéaire à AB de même sens alors AB·AC = |AB||AC|.
• Si AC est colinéaire à AB de sens contraire alors AB·AC = −|AB||AC|, et si vecteurs perpendiculaires avec colinéarité alors AB·AC=0.

💡 Astuce mémo

Projeté : le terme orthogonal disparaît dans AB·AH + AB·HC, il reste AB·AH.

📖 9. Vecteurs et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Opposé d’un vecteur : L’opposé d’un vecteur u, noté −u, correspond à −1 fois u et a la même norme que u.
• Colinéarité (vecteurs) : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils ont la même direction, ou encore s’il existe λ tel que v = λu.
• Opération sur les vecteurs : Multiplier un vecteur par un réel change sa direction ou son sens selon le signe de ce réel, tout en ajustant sa norme.

📝 Points essentiels

• Le cours définit la somme géométrique avec la règle du parallélogramme : AB⃗ + AC⃗ = AD⃗ (ou l’égalité équivalente dans le schéma).
• Le milieux de segment vérifie la relation vectorielle A + B = 2I dans le cours.
• Pour un réel h, le vecteur h·u conserve la direction si h>0 et devient opposé si h<0.
• Pour la norme, |k·u| = |k|·|u| est donné dans le cours avec des exemples pour k positif, négatif et décimal.
• Dans le cours, la colinéarité est reformulée en termes de même direction et d’existence d’un scalaire λ.

💡 Astuce mémo

Signe du scalaire : + garde le sens, − inverse le sens ; la norme suit |k|.

📖 10. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique a une relation de récurrence de la forme U_{n+1}=qU_n avec une raison q constante.
• Limite des puissances qn : La limite de q^n dépend de la valeur absolue de q : le cours distingue notamment le cas 0<q<1.

📝 Points essentiels

• Le cours donne que si 0<q<1 alors q^n → 0 quand n→∞.
• Exemple : une croissance avec U_{n+1}=1,04U_n correspond à une suite géométrique de raison q=1,04.
• Dans un exemple de suites, si V_n = U_n−7500 est géométrique avec V_{n+1}=0,96V_n−300 puis mise en forme, on déduit V_n = −2500×0,96^n dans le cours.
• Somme des termes consécutifs d’une suite géométrique : la somme est exprimée en fonction du premier terme et de q dans le cours.
• Exemple chiffré : pour q=3 et U0=5, la somme S=U0+...+U13 s’écrit avec une formule utilisant 3^14−1 et division par 3−1.

💡 Astuce mémo

Raison q : récurrence → q^n ; et si 0<q<1 alors ça s’éteint vers 0.

📖 11. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique a une différence constante r entre deux termes consécutifs.
• Terme général : Le cours fournit une expression explicite de U_n à partir de U_0 et de la raison r.

📝 Points essentiels

• Dans le cours, la relation générale est U_n = U_0 + n×r et aussi U_{n+1}=U_n+r.
• Exemple : suite arithmétique de raison −5 avec U0=28 ; le cours donne U_n = 33−5n après transformation.
• Pour déterminer le plus petit n tel que U_n<0, le cours encadre l’inégalité en utilisant l’expression explicite.
• Le cours décrit monotonicité : si r>0 alors la suite est croissante, si r<0 elle est décroissante et si r=0 elle est constante.
• Le cours mentionne aussi l’expression de U_n à partir de U_{n-1}, U_{n-2}, etc. via la répétition de U_{k}=U_{k−1}+r.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : même pas r à chaque marche → U_n = U_0 + n·r.

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger loi de probabilité et espérance : la loi liste les P(X=xi), l’espérance combine ces valeurs via E(X)=Σ pi xi.
2. Oublier la vérification clé : la somme des probabilités d’une loi de X doit valoir 1.
3. Perdre le signe de la dérivée : dans les expressions avec e^x ou e^{-x}, l’exponentielle est toujours positive, seul le facteur restant change le signe.
4. Confondre formule de produit scalaire en coordonnées (xx’+yy’) et formule géométrique (|AB||AC|cos(BAC)).
5. Se tromper sur le sens avec la colinéarité : même sens donne AB·AC=|AB||AC|, sens contraire donne AB·AC=−|AB||AC|.
6. Utiliser le mauvais “type de suite” : géométrique implique une multiplication par q, arithmétique implique un ajout par r.
7. En suites arithmétiques, prendre n−1 au lieu de n dans U_n = U_0 + n·r peut décaler l’inégalité demandée.

✅ Checklist Examen

1. Définir une variable aléatoire et identifier l’ensemble des valeurs prises par X.
2. Écrire la loi de probabilité d’une variable aléatoire à partir des probabilités P(X=xi).
3. Calculer (ou au minimum organiser le calcul de) l’espérance E(X)=Σ pi xi.
4. Savoir écrire la variance V(X)=Σ pi(xi−E(X))^2 et en déduire l’écart-type σ(X)=√V(X).
5. Reconnaître les formes usuelles d’une droite (y=mx+p et ax+by+c=0) et formuler la condition de perpendicularité via n·n’=0.
6. Savoir reconnaître l’équation d’un cercle (x−x0)^2+(y−y0)^2=r^2 et l’utiliser pour un calcul simple.
7. Connaître les propriétés clés de e^x : e^x>0, e^0=1, croissance, et la comparaison e^x>e^y ⇔ x>y.
8. Savoir calculer des dérivées sur des expressions du type (3x+2)e^x, et identifier les points où f’(x)=0.
9. Utiliser le produit scalaire en coordonnées : u·v=xx’+yy’ dans un repère orthonormé.
10. Utiliser la formule géométrique du produit scalaire : AB·AC=|AB||AC|cos(BAC) pour interpréter le signe.
11. Déterminer le lien entre projeté orthogonal et disparition des termes orthogonaux dans une décomposition de produit scalaire.
12. Manipuler les vecteurs : opposé, somme (parallélogramme) et règle de multiplication par un réel avec le sens (h>0, h<0).
13. Résoudre un problème de suite géométrique : utiliser la raison q et la limite si 0<q<1.
14. Résoudre une suite arithmétique : utiliser U_n=U_0+n·r, la récurrence U_{n+1}=U_n+r, et la monotonie selon le signe de r.