Lernzettel: Les bases de l’intégrale et de l’aire

📋 Plan du Cours

1. Intégrale d’une fonction et aire algébrique
2. Unité d’aire et repère orthogonal
3. Relation de Chasles et linéarité des intégrales
4. Ordre et positivité des intégrales
5. Lien intégrale et primitive
6. Calcul d’aire entre deux courbes
7. Valeur moyenne d’une fonction

📖 1. Intégrale d’une fonction et aire algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité d’aire : L’unité d’aire est l’aire du rectangle de côtés [OI] et [OJ] dans le repère orthogonal choisi.
• Intégrale d’une fonction : L’intégrale de f de a à b est l’aire (en u.a.) limitée par la courbe, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b.
• Aire algébrique : L’aire algébrique est l’aire (en u.a.) comptée positivement ou négativement selon le signe de f entre a et b.
• Bornes de l’intégrale : Les bornes de l’intégrale sont les nombres a et b qui fixent les droites verticales encadrant le domaine.

📝 Points essentiels

• Si f est continue et positive sur [a,b], l’intégrale correspond à une aire entièrement au-dessus de l’axe des abscisses.
• Si f est continue et négative sur [a,b], l’intégrale est négative car l’aire est comptée avec le signe de f.
• Pour une fonction de signe quelconque, l’intégrale est l’aire algébrique limitée par la courbe, l’axe et x=a, x=b.
• La notation s’écrit ∫_a^b f(x) dx et les droites x=a et x=b délimitent la zone considérée.
• L’intégrale est exprimée en unités d’aire (u.a.), pas directement en cm² tant que l’unité géométrique n’est pas précisée.

💡 Astuce mémo

Positive au-dessus = intégrale positive ; négative sous l’axe = intégrale négative.

📖 2. Unité d’aire et repère orthogonal

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthogonal (O,I,J) : Un repère orthogonal est un repère où les axes sont perpendiculaires, notés (O,I,J) dans l’énoncé.
• Repère orthonormé : Un repère orthonormé est un repère orthogonal où les unités sur les axes sont identiques.
• u.a. (unité d’aire) : L’unité d’aire u.a. correspond à l’aire du rectangle construit avec les longueurs [OI] et [OJ].

📝 Points essentiels

• L’unité d’aire est définie à partir du rectangle de côtés [OI] et [OJ] du repère orthogonal.
• Si le repère est orthonormé et que l’unité linéaire vaut 2 cm, alors 1 u.a. vaut 4 cm².
• Le calcul d’aire entre courbes donne d’abord une valeur en u.a., puis on convertit en cm² via la valeur de 1 u.a.
• Le repère sert à interpréter géométriquement l’intégrale comme une aire mesurée dans l’unité choisie.
• Le passage u.a. → cm² dépend uniquement de l’unité linéaire du repère (exemple : 2 cm).

💡 Astuce mémo

u.a. = (OI)×(OJ) ; si OI=OJ=2 cm alors u.a.=4 cm².

📖 3. Relation de Chasles et linéarité des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles : La relation de Chasles relie l’intégrale sur [a,c] à la somme des intégrales sur [a,b] et [b,c].
• Linéarité de l’intégrale : La linéarité exprime que l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales et qu’un facteur constant sort de l’intégrale.
• Changement d’orientation : Le changement de bornes inverse le signe de l’intégrale : intégrer de b à a revient à l’opposé de l’intégrale de a à b.

📝 Points essentiels

• Pour f continue sur I, ∫_a^b f(x) dx + ∫_b^c f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx.
• On en déduit ∫_a^b f(x) dx = −∫_b^a f(x) dx.
• Pour f et g continues sur I, ∫_a^b (f(x)+g(x)) dx = ∫_a^b f(x) dx + ∫_a^b g(x) dx.
• Pour k réel, ∫_a^b (k·f(x)) dx = k·∫_a^b f(x) dx.
• La relation de Chasles permet de découper un domaine d’intégration en plusieurs morceaux.

💡 Astuce mémo

Découper : Chasles ; regrouper : linéarité ; inverser les bornes = changer de signe.

📖 4. Ordre et positivité des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre des intégrales : L’ordre des intégrales compare les valeurs de deux intégrales à partir d’une inégalité point à point entre les fonctions.
• Positivité des intégrales : La positivité des intégrales garantit que si f est positive sur [a,b], alors son intégrale est ≥ 0.
• Inégalité point à point : Une inégalité point à point signifie que f(x) ≤ g(x) pour tout x de l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Si pour tout x de [a,b], f(x) ≤ g(x), alors ∫_a^b f(x) dx ≤ ∫_a^b g(x) dx.
• Si f est continue et positive sur [a,b], alors ∫_a^b f(x) dx ≥ 0.
• La réciproque de la positivité est fausse : une intégrale non négative ne force pas la fonction à être positive partout.
• Le critère d’ordre repose sur une comparaison globale via l’inégalité sur tout l’intervalle.
• La positivité est un cas particulier de l’ordre quand on compare f à 0.

💡 Astuce mémo

Inégalité partout ⇒ inégalité des intégrales ; mais intégrale ≥0 ne prouve pas f≥0.

📖 5. Lien intégrale et primitive

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de f sur un intervalle I est une fonction F dont la dérivée est f sur I.
• Théorème fondamental (lien intégrale-primitives) : Le lien intégrale-primitives relie la valeur de l’intégrale à la différence des valeurs d’une primitive aux bornes.
• Notation intermédiaire : La notation intermédiaire [F(x)]_a^b sert à écrire rapidement F(b)−F(a).

📝 Points essentiels

• Si F est une primitive de f sur I, alors ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).
• La notation intermédiaire s’écrit ∫_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b)−F(a).
• L’intégrale ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent par une constante qui s’annule dans F(b)−F(a).
• Exemple : ∫_2^3 (2x+1) dx = [x^2+x]_2^3 = 4.
• Exemple : ∫_0^π cos x dx = [sin x]_0^π = 0.
• Exemple de découpage : ∫_0^2 (3x^2+2) dx = ∫_0^2 3x^2 dx + ∫_0^2 2 dx.

💡 Astuce mémo

Intégrale = “primitive aux bornes” : F(b)−F(a) ; la constante disparaît.

📖 6. Calcul d’aire entre deux courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire entre deux courbes : L’aire entre deux courbes est l’aire du domaine compris entre leurs représentations, limitée par les abscisses d’intersection.
• Différence de fonctions : La différence g(x)−f(x) sert à déterminer quelle courbe est au-dessus et à calculer l’aire du domaine.
• Points d’intersection : Les points d’intersection sont les abscisses où les courbes se coupent, ce qui fixe les bornes de l’intégrale d’aire.

📝 Points essentiels

• Pour calculer l’aire entre Cf et Cg, on cherche d’abord les abscisses des intersections en résolvant f(x)=g(x).
• On détermine ensuite le signe de g(x)−f(x) pour savoir si l’aire correspond à une intégrale positive ou à une aire algébrique.
• L’aire A s’obtient en intégrant la fonction “au-dessus moins au-dessous” sur l’intervalle où elle est positive.
• Exemple : f(x)=x² et g(x)=−0,2x²+1,2 donnent x²=−0,2x²+1,2x²+0,2x²=1,2x²=1,2? ; l’énoncé conclut des intersections en x=−1 et x=1.
• Sur −1<x<1, l’énoncé établit g(x)−f(x)=−1,2x²+1,2>0, donc l’aire vaut A=∫_{−1}^1 (g(x)−f(x)) dx.
• Dans l’exemple, A=1,6 u.a. puis 1 u.a.=4 cm², donc A=6,4 cm².

💡 Astuce mémo

Aire = ∫ (courbe du dessus − courbe du dessous) ; bornes = abscisses d’intersection.

📖 7. Valeur moyenne d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur moyenne : La valeur moyenne μ de f sur [a,b] est le quotient de l’intégrale de f par la longueur b−a.
• Longueur d’intervalle : La longueur d’un intervalle [a,b] est b−a et sert d’échelle pour convertir une aire en moyenne.
• Interprétation graphique : L’interprétation graphique relie la valeur moyenne à la hauteur d’un rectangle ayant la même aire que la zone sous la courbe.

📝 Points essentiels

• La valeur moyenne est définie par μ = 1/(b−a) · ∫_a^b f(x) dx.
• L’interprétation graphique dit que l’aire grisée sous la courbe égale l’aire du rectangle de base (b−a) et de hauteur μ.
• La valeur moyenne a la même unité que f car elle correspond à une hauteur.
• Exemple : pour f(x)=x² sur [0,1], μ = 1/(1−0)·∫_0^1 x² dx.
• On calcule ∫_0^1 x² dx = [x^3/3]_0^1 = 1/3, donc μ=1/3.
• La formule transforme une intégrale (aire) en une moyenne sur la largeur de l’intervalle.

💡 Astuce mémo

Moyenne = aire / largeur : μ = (1/(b−a))×∫ f.

📊 Tableaux de synthèse

Intégrale : aire simple vs aire algébrique

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre u.a. et cm² : l’intégrale donne une aire en u.a. tant que l’unité du repère n’est pas convertie.
2. Croire que ∫_a^b f(x) dx ≥ 0 implique f(x) ≥ 0 sur tout [a,b] : la réciproque de la positivité est fausse.
3. Oublier le signe lors du changement de bornes : ∫_b^a f(x) dx n’est pas égal à ∫_a^b f(x) dx.
4. Prendre les mauvaises bornes pour une aire entre courbes : elles doivent être les abscisses des intersections.
5. Penser que l’intégrale dépend de la primitive choisie : la différence F(b)−F(a) annule la constante.
6. Utiliser une mauvaise formule de valeur moyenne : μ n’est pas ∫_a^b f(x) dx, mais (1/(b−a)) fois cette intégrale.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir l’unité d’aire u.a. à partir du rectangle [OI]×[OJ] et convertir en cm² quand l’unité linéaire est donnée.
2. Savoir interpréter ∫_a^b f(x) dx comme aire (si f≥0) ou aire algébrique (si f de signe quelconque).
3. Savoir appliquer la relation de Chasles pour découper ou recombiner une intégrale et gérer le changement de bornes (signe).
4. Savoir utiliser la linéarité : somme d’intégrales et facteur constant sortant.
5. Savoir appliquer l’ordre : f(x)≤g(x) pour tout x ⇒ ∫ f ≤ ∫ g.
6. Savoir utiliser la positivité : f≥0 sur [a,b] ⇒ ∫ f ≥ 0, et connaître que la réciproque est fausse.
7. Savoir calculer une intégrale via une primitive : ∫_a^b f = F(b)−F(a) et comprendre pourquoi le choix de primitive ne change rien.
8. Savoir calculer une aire entre deux courbes : trouver les intersections, déterminer le signe de g−f, intégrer la différence au-dessus moins au-dessous, puis convertir en cm² si besoin.
9. Savoir calculer une valeur moyenne : μ = 1/(b−a)·∫_a^b f(x) dx et relier μ à la hauteur du rectangle d’aire égale.