Lernzettel: Les différentes formes et symétries des fonctions courantes

📋 Plan du Cours

1. Notion de fonction
2. Fonctions affines
3. Représentation graphique affine
4. Fonction carré
5. Symétrie parabole
6. Fonction inverse
7. Symétrie hyperbole
8. Fonction cube
9. Symétrie origine
10. Fonction racine carrée

📖 1. Notion de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Relation qui à chaque nombre réel $x$ d’un intervalle $I$ associe un seul nombre réel $f(x)$. L’ensemble $I$ est l’ensemble de définition, et $f(x)$ est l’image de $x$.
  Exemple : $f(x) = 3x$.

• Antécédent et Image : Si $y = f(x)$, alors $x$ est l’antécédent de $y$ par $f$, et $y$ est l’image de $x$.

• Notations : La fonction peut se noter $x \mapsto f(x)$ ou $f : x \mapsto f(x)$.

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a, b \in \mathbb{R}$.
  Exemples : $f(x) = -5x + 2$, $g(x) = \frac{x}{2} - 4$.

• Représentation graphique : La courbe dans un repère. La fonction affine correspond à une droite, avec $a$ le coefficient directeur et $b$ l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• La fonction associe un seul $y$ à chaque $x$. La relation est fonctionnelle si chaque $x$ a une seule image $f(x)$.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite, caractérisée par son coefficient directeur $a$ et son ordonnée à l’origine $b$.
• La fonction carré $f(x) = x^2$ a pour graphique une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, située au-dessus de l’axe des abscisses.
• La fonction inverse $f(x) = 1/x$ a pour graphique une hyperbole, symétrique par rapport à l’origine, avec deux branches distinctes.

💡 À retenir

Une fonction est une relation qui associe de façon unique chaque élément de son domaine à un seul élément de son codomaine, et sa représentation graphique permet d’en visualiser la nature, comme une droite pour une fonction affine ou une parabole pour la fonction carré.

📖 2. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a, b \in \mathbb{R}$. Elle associe à chaque réel $x$ un réel unique selon cette formule.

• Coefficient directeur ($a$) : Nombre réel qui indique la pente de la droite représentée par la fonction affine. Il détermine l'inclinaison de la droite : si $a > 0$, la droite monte, si $a < 0$, elle descend.

• Ordonnée à l’origine ($b$) : Point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (axe $y$). C’est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$.

• Représentation graphique : La courbe d’une fonction affine est une droite dans un repère orthogonal. La pente est donnée par $a$ et le point d’intersection par $b$.

• Cas particuliers :

  • Fonction linéaire : $f(x) = ax$ (avec $b=0$)
  • Fonction constante : $f(x) = b$ (avec $a=0$)

📝 Points essentiels

• La formule générale d’une fonction affine est $f(x) = ax + b$.
• La représentation graphique est une droite dont la pente est $a$ et qui coupe l’axe $y$ en $b$.
• La pente $a$ indique la variation de $f(x)$ quand $x$ augmente d’une unité.
• La droite passe par le point $(0, b)$.

💡 À retenir

Une fonction affine est une droite dans un repère, caractérisée par sa pente $a$ et son intercept $b$. Elle modélise une relation linéaire simple entre deux variables.

📖 3. Représentation graphique affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur ℝ par $f(x) = ax + b$, où $a, b \in ℝ$. Sa représentation graphique est une droite.
  Exemple : $f(x) = 2x - 1$.

• Coefficient directeur (a) : Nombre réel représentant la pente de la droite, indiquant son inclinaison. Plus $a$ est grand, plus la droite est inclinée.
  Point clé : Si $a > 0$, la droite monte ; si $a < 0$, elle descend.

• Ordonnée à l’origine (b) : Point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées (axe vertical).
  Point clé : La valeur de $f(0)$.

• Représentation graphique : Tracé d’une droite dans un repère orthogonal, caractérisée par son coefficient directeur et son ordonnée à l’origine.
  Astuce : Utiliser deux points pour tracer la droite : un à l’origine (0, b) et un autre en utilisant la pente $a$.

• Fonction linéaire : Cas particulier de fonction affine avec $b=0$, représentée par une droite passant par l’origine.
  Exemple : $f(x) = 3x$.

• Fonction constante : Cas particulier avec $a=0$, représentée par une droite horizontale.
  Exemple : $f(x) = 5$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite caractérisée par deux paramètres : le coefficient directeur $a$ (pente) et l’ordonnée à l’origine $b$.
• La pente $a$ indique si la droite monte ou descend quand on va de gauche à droite.
• La droite coupe l’axe des ordonnées en $b$.
• La connaissance de deux points suffit pour tracer la droite : un point à l’origine et un autre calculé à partir de la pente.

💡 À retenir

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont la pente et l’intersection avec l’axe des ordonnées déterminent entièrement sa position. La compréhension de ces paramètres facilite la lecture et le tracé dans un repère.

📖 4. Fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré (f) : Fonction définie sur ℝ par $f(x) = x^2$. Elle associe à chaque réel $x$ son carré $x^2$.
  Exemple : $f(3) = 9$.

• Symétrie par rapport à l’axe des ordonnées : La parabole de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe vertical $x=0$.
  Démonstration : $(−x)^2 = x^2$.

• Axe de symétrie : La droite verticale $x=0$ (l’axe des ordonnées) qui coupe la parabole en son sommet.
  Point clé : La parabole est symétrique par rapport à cet axe.

• Position de la parabole : La courbe est située au-dessus de l’axe des abscisses, car $x^2 \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
  Remarque : La parabole n’a pas de partie en dessous de l’axe $x$.

• Domaine de définition : L’ensemble des réels $\mathbb{R}$. La fonction est définie pour tout $x$ réel.

📝 Points essentiels

• La fonction carré est une fonction paire, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• La représentation graphique est une parabole ouverte vers le haut, avec sommet en $(0,0)$.
• La parabole est située dans le demi-plan supérieur ou égal à 0, car $x^2 \geq 0$.
• La fonction est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, avec une dérivée $f'(x) = 2x$.

💡 À retenir

La fonction carré est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, située au-dessus de l’axe des abscisses, et son point d’origine est le sommet de la parabole en $(0,0)$.

📖 5. Symétrie parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La courbe représentant la fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$). Elle est symétrique par rapport à une droite appelée axe de symétrie.

• Axe de symétrie : La droite verticale passant par le sommet de la parabole, qui divise la parabole en deux parties symétriques. Son équation est $x = -\frac{b}{2a}$.

• Sommet : Le point le plus haut ou le plus bas de la parabole, dont les coordonnées sont $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Il représente le minimum (si $a > 0$) ou le maximum (si $a < 0$) de la fonction.

• Symétrie par rapport à l’axe : La parabole est symétrique par rapport à son axe de symétrie, ce qui signifie que pour tout point $M(x, y)$ sur la parabole, le point $M'$ tel que $x' = 2x_s - x$ (avec $x_s$ l’abscisse du sommet) appartient aussi à la parabole, et $f(x) = f(x')$.

• Forme canonique : La forme $f(x) = a(x - x_s)^2 + y_s$, où $(x_s, y_s)$ est le sommet, facilite l’étude de la symétrie.

📝 Points essentiels

• La parabole est symétrique par rapport à son axe de symétrie, qui passe par le sommet.
• La formule du sommet : $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
• La forme canonique permet d’identifier rapidement l’axe de symétrie et le sommet.
• La parabole est ouverte vers le haut si $a > 0$ et vers le bas si $a < 0$.
• La symétrie implique que pour tout $x$, $f(x) = f(2x_s - x)$.

💡 À retenir

La parabole est une courbe symétrique par rapport à son axe de symétrie, passant par un sommet dont la position se calcule facilement à partir des coefficients de la fonction quadratique.

📖 6. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse (f⁻¹) : Fonction qui "inverse" l'effet d'une fonction f, telle que pour tout y dans l'image de f, f⁻¹(y) = x si et seulement si f(x) = y. Elle existe si f est bijective (injective et surjective).
• Bijection : Fonction à la fois injective (un seul antécédent par image) et surjective (toute valeur de l'ensemble d'arrivée est atteinte). La fonction inverse n'existe que pour une bijection.
• Représentation graphique de la fonction inverse : La courbe de f⁻¹ est le symétrique de celle de f par la droite y = x.
• Propriété principale : Si f est bijective, alors (f⁻¹)⁻¹ = f. La fonction inverse est une opération qui "annule" la fonction initiale.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie uniquement sur l'ensemble de l'image de f, c’est-à-dire sur l’ensemble des y pour lesquels il existe un x tel que f(x) = y.
• La courbe de f⁻¹ est symétrique à celle de f par la droite y = x, ce qui permet de visualiser leur relation géométrique.
• La fonction inverse d'une fonction affine f(x) = ax + b (avec a ≠ 0) est donnée par f⁻¹(y) = (y - b)/a.
• Pour les fonctions classiques comme f(x) = 1/x ou f(x) = x³, leur inverse est respectivement f⁻¹(x) = 1/x et f⁻¹(x) = x³.
• La fonction inverse permet de résoudre des équations en inversant la relation entre x et y.

💡 À retenir

La fonction inverse, si elle existe, est le miroir de la fonction initiale par la droite y = x, et elle permet d'interchanger les rôles de l'entrée et de la sortie dans une relation.

📖 7. Symétrie hyperbole

🔑 Notions clés & Définitions

• Hyperbole : La représentation graphique de la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$. C'est une courbe composée de deux branches séparées, situées dans les quadrants I et III ou II et IV, selon le signe de $x$.

• Symétrie par rapport à l’origine (centre de symétrie) : La hyperbole est symétrique par rapport au point $O(0,0)$. Cela signifie que si un point $M(x, 1/x)$ appartient à l’hyperbole, alors le point $M'(-x, -1/x)$ est aussi sur l’hyperbole.

• Centre de symétrie : Le point $O(0,0)$ qui sert de centre de symétrie pour la hyperbole. La réflexion de tout point de la courbe par rapport à $O$ donne un autre point de la courbe.

• Asymptotes : Les droites auxquelles la courbe se rapproche mais ne touche jamais. Pour l’hyperbole $f(x) = 1/x$, ce sont les axes $x=0$ (axe vertical) et $y=0$ (axe horizontal).

• Domaine de définition : $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$. La fonction n’est pas définie en $x=0$.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse $f(x) = 1/x$ a pour représentation graphique une hyperbole composée de deux branches, situées dans les quadrants I et III ou II et IV.

• La courbe est symétrique par rapport au centre $O(0,0)$, ce qui implique que pour tout $x \neq 0$, $f(-x) = -f(x)$.

• Les asymptotes sont les axes $x=0$ et $y=0$, vers lesquels la courbe se rapproche à l’infini.

• La courbe ne coupe jamais l’axe $x=0$ ni l’axe $y=0$, mais elle tend vers eux.

• La représentation graphique illustre la propriété de symétrie centrale : points $M(x, 1/x)$ et $M'(-x, -1/x)$ sont symétriques par rapport à $O$.

💡 À retenir

L’hyperbole de la fonction inverse est une courbe symétrique par rapport à l’origine, caractérisée par ses asymptotes aux axes et sa symétrie centrale, illustrant la propriété fondamentale que $f(-x) = -f(x)$.

📖 8. Fonction cube

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube (f : ℝ → ℝ) : Fonction définie par $f(x) = x^3$. Elle associe à chaque réel $x$ son cube.
• Symétrie par rapport à l’origine : La représentation graphique de la fonction cube est symétrique par rapport au point $O$ (l’origine). Cela signifie que $f(-x) = -f(x)$.
• Antécédent et image : Pour un nombre $y$, un antécédent est un $x$ tel que $f(x) = y$. Par exemple, si $f(2) = 8$, alors 2 est un antécédent de 8.
• Propriété de symétrie : La courbe est symétrique par rapport à l’origine, ce qui implique que pour tout $x$, $f(-x) = -f(x)$.

📝 Points essentiels

• La fonction cube est une fonction paire, symétrique par rapport à l’origine.
• La courbe passe par l’origine $(0,0)$.
• La représentation graphique est une courbe continue, croissante sur $\mathbb{R}$, sans points d’inflexion.
• La fonction est strictement croissante sur \ $\mathbb{R}$, avec une croissance plus rapide pour les valeurs absolues de $x$ élevées.
• La fonction cube est une fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$.

💡 À retenir

La fonction cube est une fonction impaire dont la courbe est symétrique par rapport à l’origine, ce qui reflète la propriété que le cube d’un nombre négatif est négatif, et celui d’un positif est positif.

📖 9. Symétrie origine

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie par rapport à l’origine : Transformation qui associe à chaque point $M(x, y)$ un point $M'(-x, -y)$. La figure est donc réfléchie par rapport au centre $O$ (l’origine du repère).

• Centre de symétrie : Point autour duquel la symétrie est réalisée. Dans le cas de la symétrie origine, ce centre est le point $O(0,0)$.

• Hyperbole : La courbe représentative de la fonction inverse $f(x) = 1/x$. Elle est symétrique par rapport à l’origine, c’est-à-dire que si $(x, y)$ appartient à l’hyperbole, alors $(-x, -y)$ y appartient aussi.

• Symétrie d’une fonction : La propriété qu’une fonction possède si sa représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine, ce qui implique que $f(-x) = -f(x)$. Une fonction vérifiant cette propriété est dite impairement paire.

📝 Points essentiels

• La symétrie par rapport à l’origine transforme chaque point $M(x, y)$ en $M'(-x, -y)$. La courbe ou la figure est donc symétrique si pour tout point, son image par cette transformation appartient aussi à la figure.

• La fonction impaire : $f$ est impaire si $f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ dans le domaine. La représentation graphique est alors symétrique par rapport à l’origine.

• La représentation graphique de la fonction inverse $f(x) = 1/x$ est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine, avec un centre en $O(0,0)$.

• La symétrie par rapport à l’origine est une transformation involutive (appliquée deux fois, on revient à la figure initiale).

💡 À retenir

La symétrie origine consiste à réfléchir une figure ou la courbe d’une fonction par rapport au point $O(0,0)$. Elle implique que si un point $(x, y)$ appartient à la courbe, alors $(-x, -y)$ y appartient aussi, ce qui caractérise notamment les fonctions impaires.

📖 10. Fonction racine carrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction racine carrée : Fonction $f : [0, +\infty[ \to [0, +\infty[$ définie par $f(x) = \sqrt{x}$. Elle associe à chaque nombre réel non négatif son racine carrée positive.

• Domaine de définition : Ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie. Pour la racine carrée, c’est $[0, +\infty[$.

• Propriété principale : Pour tout $x \geq 0$, $f(x) = \sqrt{x} \geq 0$. La fonction est donc toujours positive ou nulle.

• Caractéristique géométrique : La représentation graphique de $f(x) = \sqrt{x}$ est une courbe croissante, située dans le premier quadrant, passant par $(0,0)$.

• Relation avec la fonction carré : La racine carrée est l'inverse partiel de la fonction carré sur $\mathbb{R}_+$, c’est-à-dire que si $y = \sqrt{x}$, alors $x = y^2$.

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée est définie uniquement pour $x \geq 0$, car la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas un nombre réel.
• La fonction est strictement croissante : si $x_1 < x_2$, alors $\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}$.
• La courbe de la racine carrée commence à l’origine $(0,0)$ et augmente lentement, s’aplatissant à mesure que $x$ augmente.
• La fonction est continue et dérivable sur $[0, +\infty[$, avec $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ pour $x > 0$.

💡 À retenir

La fonction racine carrée, définie sur $[0, +\infty[$, est une fonction croissante, continue, et dont la courbe s’étale dans le premier quadrant, représentant la relation inverse partielle de la fonction carré.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre fonction affine et fonction linéaire : une fonction affine peut avoir une ordonnée à l’origine $b \neq 0$, alors que la linéaire a $b=0$.
2. Confondre la symétrie par rapport à l’axe $x=0$ (fonction paire) et la symétrie centrale (fonction cube).
3. Oublier que la fonction inverse n’est pas définie en $x=0$, ce qui peut induire des erreurs dans le tracé ou la compréhension.
4. Confondre parabole et hyperbole : la parabole est une courbe ouverte, l’hyperbole a deux branches asymptotiques.
5. Mauvaise interprétation de la pente $a$ dans une fonction affine : une pente négative indique une décroissance, pas une croissance.
6. Confusion entre sommet et point d’intersection avec l’axe $y$ : dans une parabole, le sommet n’est pas toujours à $x=0$.
7. Erreur dans le tracé de la fonction racine carrée : elle est uniquement définie pour $x \ge 0$.

✅ Checklist Examen

• Vérifier la définition d’une fonction et sa relation unique entre $x$ et $f(x)$.
• Identifier le type de fonction (affine, carré, inverse, cube, racine) à partir de la formule.
• Savoir tracer la représentation graphique d’une fonction affine en utilisant deux points.
• Déterminer le coefficient directeur $a$ et l’ordonnée à l’origine $b$ d’une fonction affine.
• Repérer la symétrie par rapport à l’axe $x=0$ ou à une droite verticale pour une parabole.
• Calculer le sommet d’une parabole $f(x)=ax^2+bx+c$.
• Identifier l’axe de symétrie d’une parabole et ses coordonnées.
• Connaître le domaine de définition de chaque fonction (notamment racine carrée et inverse).
• Reconnaître la forme canonique d’une parabole pour en déterminer l’axe de symétrie.
• Savoir que la fonction inverse n’est pas définie en $x=0$.
• Vérifier la symétrie centrale pour la fonction cube.
• S’assurer que la courbe de la racine carrée est dans le premier quadrant.
• Vérifier la pente et le sens de variation pour une fonction affine.
• Identifier si une fonction est paire ou impaire selon sa symétrie.
• Connaître la position relative de la courbe par rapport à l’axe $x$ ou $y$.
• Tracer rapidement la courbe en utilisant les points clés (sommet, intercepts, asymptotes).
• Vérifier la continuité et la dérivabilité si demandé.
• S’assurer de la compréhension des notions de domaine et d’image.
• Vérifier la nature de la courbe (parabole, hyperbole, droite, etc.) à partir de la formule.
• Savoir distinguer une fonction croissante d’une décroissante.
• Connaître la forme de la fonction carré (parabole) et ses propriétés.
• Vérifier la symétrie par rapport à l’axe de la parabole.
• S’assurer de la maîtrise des notations et de la lecture graphique.

Fin de la checklist.