Lernzettel: Les fondamentaux des droites en géométrie

📋 Plan du Cours

1. Coefficient directeur d’une droite
2. Équations réduites des droites
3. Déterminer une droite graphiquement
4. Déterminer une droite par le calcul
5. Vecteur directeur et équation cartésienne

📖 1. Coefficient directeur d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le réel m constant associé à une droite non verticale qui quantifie la variation de y en fonction de x.
• Droite verticale : Une droite verticale a la même abscisse pour tous ses points, donc elle n’a pas d’équation de la forme y = mx + p.
• Pente de la droite : La pente correspond au coefficient directeur m et mesure le sens et l’intensité de la variation de y quand x augmente.

📝 Points essentiels

• Si une droite a deux points M(xM;yM) et N(xN;yN) avec xN≠xM, alors m = (yN − yM)/(xN − xM) est constant.
• Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.
• Si deux droites ont le même coefficient directeur, alors elles sont parallèles.

💡 Astuce mémo

m = Δy/Δx : la pente est le « changement de y sur changement de x ».

📖 2. Équations réduites des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite : Une équation réduite d’une droite non verticale s’écrit sous la forme y = mx + p avec m la pente et p l’ordonnée à l’origine.
• Ordonnee à l’origine : L’ordonnée à l’origine p est l’ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées.
• Droite horizontale : Une droite horizontale a la même ordonnée pour tous ses points, ce qui donne une équation de la forme y = p.

📝 Points essentiels

• Une droite verticale a pour équation x = c (c constante).
• Une droite horizontale a pour équation y = p (p constante).
• Une droite non parallèle à l’axe des ordonnées a pour équation y = mx + p.

💡 Astuce mémo

Verticale : c sur x ; Horizontale : p sur y ; Oblique : y = mx + p.

📖 3. Déterminer une droite graphiquement

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode graphique : La méthode graphique consiste à lire sur un graphique les valeurs de la pente et de l’ordonnée à l’origine pour obtenir l’équation réduite.
• Marche (l et h) : La marche utilisée pour la pente est un couple de déplacements horizontaux l et verticaux h sur le graphique.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir une équation réduite y = mx + p à partir d’un graphique, on lit p comme l’ordonnée quand x = 0.
• Pour obtenir m graphiquement, on construit une marche de hauteur h et de longueur l puis on calcule m = h/l.
• Sur l’exemple du cours, on obtient p = 3 et m = 1,5, donc f(x) = 1,5x + 3 et y = 1,5x + 3.

💡 Astuce mémo

p se lit à x = 0 ; m se lit avec une marche : m = h/l.

📖 4. Déterminer une droite par le calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul de la pente m : Le calcul de m consiste à utiliser deux points connus pour déterminer le coefficient directeur de la droite.
• Calcul de l’ordonnée à l’origine p : Le calcul de p consiste à remplacer les coordonnées d’un point dans l’équation y = mx + p pour isoler p.
• Équation à partir de deux points : À partir de deux points A et B, on détermine m puis on détermine p, ce qui donne une équation réduite de la droite.

📝 Points essentiels

• Avec A(xA;yA) et B(xB;yB), on calcule m par m = (yB − yA)/(xB − xA).
• Ensuite on calcule p en remplaçant x et y d’un des points dans y = mx + p.
• Exemple : A(−3;9) et B(2;−1) donnent m = −2, puis p = 3, donc y = −2x + 3.

💡 Astuce mémo

D’abord m avec Δy/Δx, puis p avec le point dans y = mx + p.

📖 5. Vecteur directeur et équation cartésienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul colinéaire à la direction de la droite.
• Équation cartésienne : Une équation cartésienne d’une droite s’écrit ax + by + c = 0 avec (a;b) ≠ (0;0).
• Vecteur directeur (−b ; a) : Pour une droite ax + by + c = 0, un vecteur directeur donné par les coordonnées (−b ; a) est colinéaire à la direction de la droite.

📝 Points essentiels

• Si A et B sont deux points distincts d’une droite d, alors le vecteur AB est un vecteur directeur de d.
• Une droite ax + by + c = 0 admet comme vecteur directeur u(−b ; a).
• Si b = 0 dans ax + by + c = 0, alors l’équation réduite est x = k (et le vecteur directeur est (0 ; a)).
• Si b ≠ 0, alors l’équation réduite est y = mx + p et un vecteur directeur peut s’écrire (−b ; a) (colinéaire à un vecteur de coordonnées (1/m)).

💡 Astuce mémo

Cartésienne ax+by+c=0 : vecteur directeur = (−b ; a). Verticale/horizontale se repèrent par b = 0.

📊 Tableaux de synthèse

Formes selon l’orientation

Type de droite	Équation	Condition
Verticale	x = c	droite parallèle à l’axe des ordonnées
Horizontale	y = p	droite parallèle à l’axe des abscisses
Oblique	y = mx + p	droite non parallèle à l’axe des ordonnées

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre coefficient directeur m et ordonnée à l’origine p : m correspond à la pente, p se lit à x = 0.
2. Appliquer m = (yB − yA)/(xB − xA) à une droite verticale : dans ce cas le dénominateur xB − xA serait nul.
3. Écrire y = mx + p pour une droite verticale : ce format ne s’applique qu’aux droites non parallèles à l’axe des ordonnées.
4. Inverser l’interprétation de (l,h) sur la marche graphique : il faut m = h/l (hauteur sur longueur horizontale).
5. Utiliser un mauvais point pour trouver p : p doit être calculé en remplaçant un point dans y = mx + p.
6. Oublier que pour ax + by + c = 0, un vecteur directeur s’obtient avec (−b ; a), et pas avec (a ; b).
7. Se tromper sur le cas b = 0 : l’équation réduite devient une forme en x (x = k), pas une forme en y = mx + p.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer le coefficient directeur m à partir de deux points M(xM;yM) et N(xN;yN) quand xN ≠ xM.
2. Savoir utiliser les propriétés : même m ⇔ droites parallèles.
3. Savoir reconnaître les trois cas et écrire l’équation réduite correspondante : verticale (x=c), horizontale (y=p), oblique (y=mx+p).
4. Pour une lecture graphique, savoir lire p comme ordonnée au point d’abscisse 0 (intersection avec l’axe des ordonnées).
5. Pour une lecture graphique, savoir déterminer m via une marche de hauteur h et de longueur l (m = h/l).
6. Savoir déterminer une droite par calcul : d’abord m = (yB − yA)/(xB − xA).
7. Savoir déterminer p en remplaçant dans y = mx + p avec les coordonnées d’un point connu.
8. Savoir passer d’une équation cartésienne ax+by+c=0 à un vecteur directeur u(−b ; a).
9. Savoir distinguer les cas b = 0 et b ≠ 0 pour obtenir l’équation réduite correspondante.
10. Savoir exploiter la notion : AB est un vecteur directeur si A et B sont deux points distincts de la droite.
11. Être capable de traiter un exemple numérique de la forme donnée dans le cours pour retrouver m et p (avec signes).