Lernzettel: Les limites en analyse mathématique

📋 Plan du Cours

1. Limites à l’infini
2. Limites finies et asymptotes horizontales
3. Limites de fonctions de référence
4. Limites en un réel et asymptotes verticales
5. Limites à gauche et à droite
6. Opérations sur les limites
7. Formes indéterminées et factorisations
8. Asymptotes et expression conjuguée
9. Limites composées et comparaisons
10. Exponentielle et croissance comparée

📖 1. Limites à l’infini

🔑 Notions clés & Définitions

• limite infinie : Une limite infinie décrit le fait que les valeurs de $f(x)$ deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue quand $x$ part vers une borne infinie.
• limite +∞ en +∞ : On note $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ quand $f(x)$ dépasse n’importe quel réel $a$ pour $x$ suffisamment grand.
• limite −∞ en +∞ : On note $\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$ quand $f(x)$ devient arbitrairement négatif pour $x$ suffisamment grand.
• asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite $y=L$ que la courbe approche quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.

📝 Points essentiels

• Une définition de $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ consiste à exiger que tout intervalle $]a,+\infty[$ contienne $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand.
• On a aussi une définition analogue pour $\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$ avec des intervalles $]-\infty,b[$.
• Une fonction qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ n’est pas nécessairement croissante.
• Les fonctions sinusoïdales ne possèdent pas de limite infinie.

📖 2. Limites finies et asymptotes horizontales

🔑 Notions clés & Définitions

• limite finie en +∞ : On note $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$ quand $f(x)$ se rapproche autant que voulu de $L$ pour $x$ suffisamment grand.
• asymptote horizontale à la courbe : Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$, alors la droite $y=L$ est une asymptote horizontale en $+\infty$.
• limite en −∞ : Les mêmes idées de limites infinies ou finies s’appliquent quand $x$ tend vers $-\infty$, avec des définitions analogues.
• exemple de limite finie : Une expression du type $2+\frac{1}{x}$ illustre une limite finie car sa valeur se resserre autour de $2$ quand $x$ grandit.

📝 Points essentiels

• Quand $\lim_{x\to+\infty} f(x)=L$, tout intervalle ouvert contenant $L$ contient $f(x)$ dès que $x$ est suffisamment grand.
• Si $\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$, la courbe se rapproche de la droite $y=2$ sans la toucher.
• Les définitions pour $x\to-\infty$ sont analogues à celles du cas $x\to+\infty$.
• Exemple : pour $f(x)=2+\frac{1}{x}$, on a $\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$ et $f(100)=2{,}01$, $f(10\,000)=2{,}0001$ (valeurs montrées dans le cours).

📖 3. Limites de fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• puissance : Une puissance $x^n$ désigne des termes de la forme $x^n$ dont le comportement à l’infini dépend de la parité de $n$.
• racine carrée : La racine carrée $\sqrt{x}$ est une fonction dont la valeur diverge vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$.
• fraction 1 sur x : La fonction $\frac{1}{x}$ tend vers $0$ quand $x\to+\infty$ (ou quand $x\to-\infty$).
• exponentielle : La fonction exponentielle $e^x$ croît sans borne et décroît vers $0$ quand son argument tend vers $-\infty$.
• factorielle : La factorielle $x!$ (quand elle est considérée comme fonction du réel dans l’exemple du cours) illustre une croissance menant à $+\infty$ à l’infini.

📝 Points essentiels

• Pour tout cas du cours : $\lim_{x\to+\infty} x^n=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} x^n=+\infty$ quand $n$ est pair.
• Pour $n$ impair, $\lim_{x\to-\infty} x^n=-\infty$ tandis que $\lim_{x\to+\infty} x^n=+\infty$.
• On a $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}=0$ (et aussi $\lim_{x\to-\infty} \frac{1}{x}=0$).
• On a $\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} e^x=0$.
• Dans l’exemple : $f(x)=x!$ admet une limite $+\infty$ quand $x\to+\infty$.

📖 4. Limites en un réel et asymptotes verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• limite en un réel : Une limite en $A$ décrit le comportement de $f(x)$ quand $x$ se rapproche de $A$ sans passer par $A.
• limite +∞ en A : On dit que $\lim_{x\to A} f(x)=+\infty$ quand les valeurs de $f(x)$ dépassent tout réel dès que $x$ est assez proche de $A$.
• limite −∞ en A : On dit que $\lim_{x\to A} f(x)=-\infty$ quand $f(x)$ devient arbitrairement négatif dès que $x$ est assez proche de $A$.
• asymptote verticale : Si $f(x)$ diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x\to A$, alors la droite $x=A$ est une asymptote verticale.

📝 Points essentiels

• Pour $\lim_{x\to A} f(x)=+\infty$, tout intervalle $]a,+\infty[$ contient $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $A$.
• Si $\lim_{x\to A} f(x)=-\infty$, tout intervalle $]-\infty,b[$ contient $f(x)$ pour $x$ suffisamment proche de $A$.
• Exemple : $f(x)=\frac{1}{3-x}+1$ vérifie $\lim_{x\to 3} f(x)=+\infty$ et la courbe approche la droite $x=3$ sans la toucher.
• Pour une fonction définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, le cours montre que $x=1$ est une asymptote verticale via des limites à gauche et à droite opposées.

📖 5. Limites à gauche et à droite

🔑 Notions clés & Définitions

• limite à droite : La limite à droite de $0$ étudie $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ avec $x>0$.
• limite à gauche : La limite à gauche de $0$ étudie $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$ avec $x<0$.
• asymptote verticale selon le côté : Une asymptote verticale en $A$ peut se manifester avec des comportements différents à gauche et à droite.
• fonction inverse : La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$ sert d’exemple pour distinguer les limites à gauche et à droite en $0$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, quand $x\to 0^+$, on obtient $\lim_{x\to0^+} f(x)=+\infty$ et cela s’appelle la limite à droite de $0$.
• Pour $f(x)=\frac{1}{x}$, quand $x\to 0^-$, on obtient $\lim_{x\to0^-} f(x)=-\infty$ et cela s’appelle la limite à gauche de $0$.
• Quand les limites à gauche et à droite diffèrent, la limite en $0$ n’est pas la même des deux côtés, comme dans l’exemple de l’inverse.

📖 6. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• règle pour la somme : Les limites se combinent pour une somme quand les limites de chaque terme sont connues.
• règle pour le produit : Le produit de deux fonctions a une limite déterminée si les limites des facteurs sont connues, avec des cas à traiter par signes.
• règle pour le quotient : Le quotient $\frac{f(x)}{g(x)}$ admet une limite calculable quand les limites de $f$ et $g$ sont connues avec $g$ non nul au sens des limites finies.
• forme indéterminée : Une forme indéterminée est une situation où on ne peut pas conclure directement sur la limite sans transformation (par factorisation, etc.).

📝 Points essentiels

• Pour $\lim_{x\to0} f(x)=L$ et $\lim_{x\to0} g(x)=L'$, alors $\lim_{x\to0}(f(x)+g(x))=L+L'$ quand $L,L'$ sont des valeurs possibles (+∞, −∞, réelles) compatibles avec la somme indiquée dans le cours.
• Les formes indéterminées pour les opérations sont signalées par le cours comme des situations où la limite est « F.I.* » et donc non prévisible directement.
• Pour le produit, le cours précise que lorsque $\infty$ désigne $+\infty$ ou $-\infty$, le signe détermine si le résultat vaut $+\infty$ ou $-\infty$.
• Pour le quotient, le cours exige $L'\neq 0$ pour les cas avec limites finies, et utilise aussi la règle des signes quand des infinis sont en jeu.
• Exemple du cours : $\lim_{x\to\text{(valeur)}} (x-5)(3+x!)=-\infty$ et $\lim_{x\to\text{(valeur)}} \frac{1-2x}{x-3}=+\infty$ (résultats obtenus via la règle des signes et les limites de référence).

📖 7. Formes indéterminées et factorisations

🔑 Notions clés & Définitions

• ∞ − ∞ : La forme $\infty-\infty$ indique que la soustraction combine deux divergences, et la limite n’est pas déterminable sans calcul supplémentaire.
• ∞/∞ : La forme $\infty/\infty$ correspond à un quotient de deux divergences et nécessite une simplification avant de conclure.
• 0 × ∞ : La forme $0\times\infty$ est une indétermination où le produit de deux comportements contradictoires peut mener à plusieurs types de résultats.
• factorisation par le monôme dominant : Lever l’indétermination consiste à factoriser par le terme de plus haut degré (monôme dominant) afin de simplifier la limite.
• monôme de plus haut degré : Dans une fraction de polynômes, le monôme dominant est celui dont le degré est le plus élevé et il guide la simplification à l’infini.

📝 Points essentiels

• Le cours liste comme indéterminées (par abus d’écriture) : $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, et aussi $0/0$.
• Pour $\lim_{x\to+\infty} \frac{-3x^2+2x^3-6x+1}{x^2}$ (exemple du cours), l’indétermination de type $\infty-\infty$ est levée en factorisant par la puissance dominante, puis la limite devient $-\infty$.
• Pour le quotient $\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^2-5x+1}{6x^2-5}$ (exemple), la factorisation par les monômes dominants mène à une limite égale à $\frac{1}{3}$.
• Pour $\lim_{x\to-\infty} \frac{3x^2+2}{4x-1}$ (exemple), après factorisation, la limite est $-\infty$ car le terme dominant impose le signe.

📖 8. Asymptotes et expression conjuguée

🔑 Notions clés & Définitions

• expression conjuguée : L’expression conjuguée sert à lever des indéterminations contenant une différence de racines en transformant le numérateur.
• conjuguée de $\sqrt{\cdot}+\sqrt{\cdot}$ : Quand un calcul contient $\sqrt{u+1}-\sqrt{u}$, le cours multiplie par la somme correspondante pour éliminer la différence.
• asymptote horizontale via quotient : Le cours déduit des asymptotes horizontales en évaluant des limites de formes de quotient menant à $0$.
• asymptote verticale via quotient : Le cours prouve une asymptote verticale en montrant que les limites à gauche et à droite autour d’un point divergent vers $\pm\infty$.

📝 Points essentiels

• Pour lever $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$, le cours multiplie par $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$ et obtient une expression qui se réduit à $\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$, donc la limite vaut $0$.
• Pour lever $\frac{\sqrt{x-1}-2}{x-5}$ (exemple du cours), l’usage de la conjuguée donne une forme qui aboutit à une limite égale à $\frac{1}{4}$.
• Pour déterminer une asymptote horizontale d’une fonction du type $\frac{\text{quelque chose}}{1-x}$, le cours calcule des limites montrant que la limite en $+\infty$ et en $-\infty$ vaut $0$, donc l’asymptote est $y=0$.
• Pour une fonction avec dénominateur $1-x$ et un point d’annulation à $x=1$, le cours obtient des limites opposées (vers $-\infty$ puis $+\infty$) et en déduit l’asymptote verticale $x=1$.

📖 9. Limites composées et comparaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• limite d’une fonction composée : Pour une composition $f(g(x))$, on calcule la limite de $g(x)$ puis on applique la limite à l’extérieur pour obtenir celle de la composition.
• théorème de comparaison : La comparaison relie deux fonctions : si l’une est toujours au-dessus (ou au-dessous) de l’autre et que l’une diverge, alors l’autre diverge pareillement.
• théorème d’encadrement : Le théorème du sandwich conclut qu’une fonction a la même limite que ses deux bornes si ces bornes tendent vers la même valeur.
• gendarmes : Les fonctions d’un encadrement (borne inférieure et borne supérieure) jouent le rôle de gendarmes qui se resserrent sur la fonction étudiée.
• limite de $\sin x$ : Le cours rappelle que $\sin x$ n’a pas de limite quand $x\to+\infty$, ce qui force à reformuler avec encadrements.

📝 Points essentiels

• Exemple de composition du cours : si $\lim_{x\to+\infty} \frac{2-1/x}{1}=2$ puis que la fonction externe est continue pour cette valeur, on obtient $\lim_{x\to+\infty} \sqrt{2-1/x}=\sqrt{2}$.
• Théorème de comparaison : si $f(x)\le g(x)$ et $\lim f(x)=+\infty$, alors $\lim g(x)=+\infty$ (et analogue pour $-\infty$).
• Théorème d’encadrement : si $f(x)\le g(x)\le h(x)$ et si $\lim f(x)=\lim h(x)=L$, alors $\lim g(x)=L$.
• Exemple du cours : $\lim_{x\to+\infty} \big(x+\sin x\big)=+\infty$ car $-1\le \sin x$ donne $x-1\le x+\sin x$.
• Exemple du cours : $\lim_{x\to+\infty} \frac{x\cos x}{x^2+1}=0$ via l’encadrement $-x\le x\cos x\le x$ puis l’encadrement par des expressions tendant toutes vers $0$.

📖 10. Exponentielle et croissance comparée

🔑 Notions clés & Définitions

• limite de $e^x$ : La croissance exponentielle fait que $e^x$ diverge vers $+\infty$ quand $x\to+\infty$ et tend vers $0$ quand $x\to-\infty$.
• comparaison exponentielle et puissance : La croissance comparée compare l’exponentielle $e^x$ et les puissances $x^n$ pour décider laquelle domine à l’infini.
• exponentielle plus rapide : Quand $x$ devient très grand, l’exponentielle dépasse toute puissance, ce qui impose souvent des limites vers $+\infty$ ou $0$ selon le quotient.
• croissance comparée $\frac{e^x}{x^n}$ : Le cours donne un résultat spécifique pour le rapport de l’exponentielle par une puissance entière.

📝 Points essentiels

• Le cours donne : $\lim_{x\to+\infty} e^x=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty} e^x=0$.
• Croissance comparée : pour tout entier $n$, $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^n}=+\infty$.
• Croissance comparée : pour tout entier $n$, $\lim_{x\to-\infty} x^n e^x=0$.
• Exemple du cours : $\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{x}+x}{e^{x}-x^2}=1$ en levant l’indétermination $\infty-\infty$ par mise sous forme $1+\frac{x}{e^x}$ et comparaison (les termes $\frac{x}{e^x}$ et $\frac{x^2}{e^x}$…

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre limite infinie et asymptote horizontale : une asymptote horizontale correspond à une limite finie $L$ et pas à une divergence.
2. Oublier de distinguer limite à gauche et à droite en un point $A$, ce qui peut changer le signe (exemple de $\frac{1}{x}$).
3. Appliquer directement les règles de somme/produit/quotient quand la forme est indéterminée ($\infty-\infty$, $\infty/\infty$, $0/0$, $0\times\infty$).
4. Lever une indétermination sans factoriser par le bon terme dominant : dans un quotient de polynômes, il faut factoriser par les monômes de plus haut degré.
5. Faire une erreur de signe dans les produits ou quotients quand des limites valent $+\infty$ ou $-\infty$.
6. Penser que $\sin x$ a une limite quand $x\to+\infty$ : le cours indique qu’elle n’en a pas, donc il faut passer par des encadrements.

✅ Checklist Examen

1. Définir et reconnaître $\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$ avec la bonne logique d’intervalles.
2. Définir et reconnaître une limite finie en $+\infty$ et associer correctement l’asymptote horizontale $y=L$.
3. Savoir donner les limites de référence du cours : $x^n$ (pair/impair), $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$, $e^x$ et l’exemple $x!$.
4. Définir une asymptote verticale en $x=A$ à partir d’une limite vers $+\infty$ ou $-\infty$ quand $x\to A$.
5. Calculer ou interpréter des limites à gauche et à droite (notamment sur l’exemple de $\frac{1}{x}$).
6. Utiliser les règles d’opérations sur les limites pour somme, produit et quotient quand ce n’est pas une forme indéterminée.
7. Reconnaître les 4 formes indéterminées listées par le cours et choisir une méthode (factorisation pour $\infty-\infty$ et $\infty/\infty$, conjuguée pour des différences de racines, etc.).
8. Savoir lever une indétermination de type $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}$ avec l’expression conjuguée et conclure sur la limite.
9. Déterminer une asymptote à partir de limites (horizontale par limite finie et verticale par divergence) en suivant la méthode montrée.
10. Appliquer la croissance comparée : conclure sur $\frac{e^x}{x^n}$, $x^n e^x$, et résoudre un exemple de quotient en menant aux termes $\frac{\text{polynôme}}{e^x}$ tendant vers $0$.