Lernzettel: Les nombres premiers et leur décomposition

📋 Plan du Cours

1. Définition des nombres premiers
2. Liste des nombres premiers inférieurs à 100
3. Décomposition en facteurs premiers et exemples
4. Unicité de la décomposition et méthode par divisions successives

📖 1. Définition des nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

• Un nombre premier est divisible uniquement par 1 et par lui-même.
• Les nombres premiers sont des entiers naturels (pas des nombres décimaux).
• Le critère de primalité repose sur l’ensemble des diviseurs possibles.

💡 Astuce mémo

Diviseurs = 1 et soi-même.

📖 2. Liste des nombres premiers inférieurs à 100

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres premiers < 100 : Les nombres premiers inférieurs à 100 sont les entiers premiers strictement plus petits que 100.

📝 Points essentiels

• Il existe un nombre infini de nombres premiers.
• Le texte donne 25 nombres premiers inférieurs à 100.
• La liste fournie commence par 2 et se termine par 97.
• Les nombres listés sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

💡 Astuce mémo

Dernier de la liste : 97.

📖 3. Décomposition en facteurs premiers et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en facteurs premiers : Décomposer un nombre en facteurs premiers consiste à l’écrire comme un produit de nombres premiers.
• Facteurs premiers : Les facteurs premiers sont les nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition en produit.

📝 Points essentiels

• Exemple : 42 s’écrit 42 = 2 × 3 × 7.
• Exemple : 3300 s’écrit 3300 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 11.
• On peut regrouper les répétitions sous forme de puissances, par exemple 3300 = 2² × 3 × 5².
• La décomposition vise un produit de nombres premiers, pas une somme ni un produit de nombres non premiers.

💡 Astuce mémo

Produit de premiers, puis regrouper les répétitions en puissances.

📖 4. Unicité de la décomposition et méthode par divisions successives

🔑 Notions clés & Définitions

• Unicité de la décomposition : La décomposition d’un entier en produit de facteurs premiers est unique à l’ordre près.
• Divisions successives : La méthode par divisions successives consiste à diviser le nombre par des nombres premiers dans l’ordre croissant jusqu’à obtenir 1.

📝 Points essentiels

• Tout entier peut se décomposer en un produit de nombres premiers.
• Cette décomposition est unique (à l’ordre près).
• Méthode : on cherche la divisibilité par les nombres premiers dans l’ordre croissant.
• On s’arrête quand le résultat final vaut 1.
• Exemple donné : 84 = 2² × 3 × 7, obtenu via les quotients 84 → 42 → 21 → 7 et les diviseurs 2, 2, 3, 7.

💡 Astuce mémo

Diviser par les premiers croissants jusqu’à 1.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre un nombre premier avec un nombre divisible par plus de deux diviseurs.
2. Oublier que la décomposition en facteurs premiers doit être un produit de nombres premiers uniquement.
3. Croire que la décomposition n’est pas unique : elle l’est (à l’ordre près).
4. Arrêter la méthode de divisions successives avant d’obtenir 1.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir un nombre premier et donner le critère des diviseurs.
2. Connaître la liste des nombres premiers inférieurs à 100 telle qu’elle est fournie.
3. Savoir écrire une décomposition en facteurs premiers et regrouper les répétitions en puissances.
4. Savoir expliquer la méthode par divisions successives (diviser par des premiers croissants jusqu’à 1) et retrouver une décomposition comme 84 = 2² × 3 × 7.
5. Savoir énoncer l’unicité de la décomposition en facteurs premiers (à l’ordre près).