Lernzettel: Les suites géométriques et leurs propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition et relation de récurrence
2. Formule explicite et croissance exponentielle
3. Sens de variations selon la raison
4. Moyenne géométrique de termes consécutifs
5. Somme des premiers termes et formule

📖 1. Définition et relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Suite de nombres où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par un même réel q.
• Raison q : Nombre réel q qui multiplie un terme pour obtenir le terme suivant dans une suite géométrique.
• Relation de récurrence : Équation reliant deux termes consécutifs d’une suite, ici un+1 et un via la raison q.

📝 Points essentiels

• Dans une suite géométrique, on a la relation un+1=q×un pour tout n∈ℕ.
• La raison q est constante : elle ne dépend pas de n.
• Exemple : si un=3n alors un+1=3n+1=3n×3=un×3, donc la raison vaut 3.
• La relation de récurrence caractérise le passage d’un terme au suivant par multiplication.
• La suite est notée (un) et les indices commencent à un entier naturel n (avec un+1 défini pour tout n∈ℕ).

💡 Astuce mémo

Récurrence = « suivant = raison × précédent » : un+1 = q·un.

📖 2. Formule explicite et croissance exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Formule explicite : Expression directe de un en fonction de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Croissance exponentielle : Modèle où une grandeur évolue avec un taux constant, ce qui correspond à une suite géométrique.
• Premier terme u0 : Terme initial d’une suite géométrique, utilisé dans la formule explicite un=qn u0.
• Premier terme u1 : Terme initial si l’indexation commence à 1, utilisé dans la formule explicite un=qn−1 u1.

📝 Points essentiels

• Si (un) est géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors un=qn u0 pour tout n∈ℕ.
• Si le premier terme est u1, alors la formule explicite devient un=qn−1 u1.
• Une suite géométrique modélise une grandeur à taux d’évolution constant.
• Cette modélisation correspond à une croissance exponentielle de la grandeur.
• Exemple : pour une suite de raison 5 et de premier terme u0=5, on exprime un en fonction de n via un=5^n×5.
• Exemple : pour v(n)=10·2^n, on vérifie que v est géométrique en comparant v(n+1) et v(n).

💡 Astuce mémo

Explicite = « puissance de q × premier terme » : u0 donne q^n·u0, u1 donne q^(n−1)·u1.

📖 3. Sens de variations selon la raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations : Comportement de la suite : elle augmente (croissante) ou diminue (décroissante) selon les paramètres.
• Raison q (cas q≠0 et q≠1) : Paramètre de la suite géométrique qui détermine le sens des variations quand q n’est ni 0 ni 1.
• Premier terme u0 : Valeur initiale qui, combinée au signe de q, fixe le sens de variation.

📝 Points essentiels

• On étudie le sens des variations pour une suite géométrique de raison q autre que 0 et 1.
• Si u0>0 et q>1, alors la suite est croissante.
• Si u0>0 et 0<q<1, alors la suite est décroissante.
• Si u0<0 et q>1, alors la suite est décroissante.
• Si u0<0 et 0<q<1, alors la suite est croissante.
• Le signe de u0 et la position de q par rapport à 1 déterminent le sens des variations.

💡 Astuce mémo

Table mentale : u0>0 → q>1 monte, 0<q<1 descend ; u0<0 inverse.

📖 4. Moyenne géométrique de termes consécutifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne géométrique : Nombre égal à la racine carrée du produit de deux nombres positifs.
• Termes consécutifs : Deux termes de la suite qui se suivent immédiatement, ici le plus petit et le plus grand parmi trois consécutifs.
• Trois termes consécutifs : Ensemble de trois termes consécutifs d’une suite géométrique, notés x, y, z dans la propriété.

📝 Points essentiels

• Pour trois nombres positifs x, y, z consécutifs d’une suite géométrique, on a √(xz)=y.
• La relation relie le terme du milieu y à la moyenne géométrique du plus petit et du plus grand.
• Dans l’exemple, w0=81 et w2=144 sont des termes positifs de la suite géométrique.
• On calcule w1 via √(w0·w2) pour obtenir le terme du milieu.
• La raison se déduit ensuite de w1 et d’un terme connu (par le rapport entre deux consécutifs).
• On peut ensuite exprimer wn en fonction de n puis calculer w15 avec la formule explicite.

💡 Astuce mémo

Milieu = moyenne géométrique : y = √(x·z).

📖 5. Somme des premiers termes et formule

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle Sn : Somme des termes d’une suite depuis le terme d’indice 0 jusqu’au terme d’indice n.
• Somme géométrique : Formule donnant Sn pour une suite géométrique de raison q.
• Raison q≠1 : Condition nécessaire pour utiliser la formule de somme des termes géométriques sous la forme donnée.

📝 Points essentiels

• Pour tout n∈ℕ, la somme ∑_{i=0}^{n} q^i vaut (1−q^{n+1})/(1−q) lorsque q≠1.
• La somme ∑_{i=0}^{n} u_i pour une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 vaut u0·(1−q^{n+1})/(1−q) (avec u0≠1 dans la preuve).
• On utilise l’astuce Sn−qSn=(1−q)∑_{i=0}^{n} u_i pour obtenir la formule de somme.
• La formule se lit comme une somme de 0 à n des termes u_i, notée avec le symbole Σ.
• Exemple : calculer ∑_{i=0}^{5} u_i se fait en appliquant la formule de somme à la suite donnée.
• La formule de somme donne directement Sn sans addition terme à terme.

💡 Astuce mémo

Somme géométrique : Sn = u0·(1−q^{n+1})/(1−q).

📊 Tableaux de synthèse

Sens des variations selon u0 et q

Condition sur u0	Condition sur q	Sens de variation
u0>0	q>1	croissante
u0>0	0<q<1	décroissante
u0<0	q>1	décroissante
u0<0	0<q<1	croissante

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la relation de récurrence un+1=q×un avec la formule explicite un=qn u0.
2. Oublier le cas où le premier terme est u1 : la puissance devient q^(n−1) et non q^n.
3. Se tromper de sens de variations en mélangeant les cas u0>0 et u0<0.
4. Appliquer la moyenne géométrique √(xz)=y à des nombres non positifs alors que la propriété est donnée pour des termes positifs.
5. Utiliser la formule de somme avec q=1 alors qu’elle est donnée pour q≠1 dans l’expression fournie.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite géométrique et écrire la relation de récurrence un+1=q×un.
2. Savoir donner la formule explicite avec premier terme u0 : un=qn u0.
3. Savoir donner la formule explicite quand le premier terme est u1 : un=qn−1 u1.
4. Savoir déterminer le sens des variations à partir du signe de u0 et de la position de q par rapport à 1 (avec q≠0 et q≠1).
5. Savoir utiliser la moyenne géométrique √(xz)=y pour trois termes consécutifs positifs d’une suite géométrique.
6. Savoir calculer une somme partielle d’une suite géométrique avec la formule ∑{i=0}^{n} u_i=u0·(1−q^{n+1})/(1−q) (q≠1) et l’appliquer à un exemple comme ∑{i=0}^{5} u_i.