Lernzettel: Les tangentes : dérivées et orientations

📋 Plan du Cours

1. Dérivée et pente des tangentes
2. Tangente horizontale ou parallèle
3. Tangente verticale
4. Tangente perpendiculaire et axe des ordonnées

📖 1. Dérivée et pente des tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est sa pente, c’est-à-dire le taux de variation de y par rapport à x.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$.
• Tangente : La tangente à une courbe en un point est la droite qui a la même pente locale que la courbe en ce point.

📝 Points essentiels

• Le coefficient directeur de la tangente à $f$ en $x=a$ vaut $f'(a)$, donc la pente de la tangente se lit via la dérivée.
• Pour trouver la tangente avec une pente imposée, on compare la dérivée à ce coefficient directeur puis on résout une équation en $x.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente locale : pour la tangente, tu remplaces la pente par $f'(a)$.

📖 2. Tangente horizontale ou parallèle

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente horizontale : Une tangente horizontale est une tangente dont la pente vaut $0$.
• Parallélisme de deux droites : Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur.

📝 Points essentiels

• Une tangente horizontale a pour coefficient directeur $0$, donc ses abscisses vérifient $f'(x)=0$.
• Pour une tangente parallèle à $y=mx+p$, on impose la pente $m$ et on résout $f'(x)=m$.
• Les solutions de $f'(x)=0$ donnent les abscisses des points où la courbe possède une tangente horizontale, souvent liées à un maximum ou un minimum.

💡 Astuce mémo

Même pente = même direction : parallèle à $y=mx+p$ implique $f'(x)=m$.

📖 3. Tangente verticale

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente verticale : Une tangente verticale est une droite de la forme $x= ext{constante}$, donc sans coefficient directeur défini.
• Taux d’accroissement infini : Un taux d’accroissement qui tend vers l’infini correspond à une variation verticale localement.
• Dérivabilité : Une fonction est dérivable en un point si sa dérivée y existe et permet de définir la pente de la tangente.

📝 Points essentiels

• En Première, $f'$ ne sert à trouver que des pentes de droites non verticales, donc on ne “calcule” pas un coefficient directeur pour une tangente verticale.
• Si on dit que la tangente est verticale, cela signifie en pratique un taux d’accroissement qui tend vers l’infini ou un point où la fonction n’est pas dérivable (cas typique : racine carrée en $x=0$).
• Une droite verticale a une équation du type $x= ext{constante}$, ce qui la distingue d’une droite à pente $m$.

📖 4. Tangente perpendiculaire et axe des ordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites perpendiculaires : Deux droites perpendiculaires se coupent avec des pentes qui vérifient une relation multiplicative spécifique.
• Axe des ordonnées : L’axe des ordonnées est la droite verticale d’équation $x=0$.

📝 Points essentiels

• Deux droites de coefficients directeurs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si et seulement si $m imes m'=-1$.
• Si la droite donnée a pour coefficient directeur $m$, alors la tangente perpendiculaire a pour pente $- rac{1}{m}$ et on résout $f'(x)=- rac{1}{m}$.
• Pour trouver le point de coupure avec l’axe des ordonnées, on remplace $x$ par $0$ dans l’équation de la courbe (ou de la tangente), donc on obtient $f(0)$.

💡 Astuce mémo

Perpendiculaire = produit des pentes $-1$ : m ightarrow -rac{1}{m}.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser qu’une tangente verticale se trouve avec $f'(x)$ comme une tangente “avec pente” : une verticale n’a pas de coefficient directeur défini.
2. Confondre tangente horizontale et tangente verticale : horizontale ⇔ pente $0$, verticale ⇔ droite $x= ext{constante}$.
3. Utiliser la règle de parallèle/perpendiculaire avec les mauvais paramètres : pour parallèle, on impose directement $f'(x)$ à la pente donnée.
4. Oublier que l’axe des ordonnées correspond à $x=0$ : on doit évaluer via $f(0)$ ou remplacer $x$ par $0$ dans l’équation de la tangente.
5. Chercher la pente de la tangente au lieu de résoudre l’équation appropriée : c’est la résolution de $f'(x)= ext{valeur}$ qui donne les abscisses.

✅ Checklist Examen

1. Savoir relier la pente de la tangente à $f$ en $x=a$ au nombre dérivé $f'(a)$.
2. Savoir trouver les tangentes horizontales en résolvant $f'(x)=0$.
3. Savoir trouver les tangentes parallèles à une droite $y=mx+p$ en résolvant $f'(x)=m$.
4. Savoir interpréter “tangente verticale” comme une situation de pente non définie (taux d’accroissement infini ou dérivée non existante).
5. Savoir trouver une tangente perpendiculaire à une droite de pente $m$ en imposant $f'(x)=-\frac{1}{m}$ et en résolvant.
6. Savoir obtenir le point d’intersection avec l’axe des ordonnées en remplaçant $x$ par $0$ pour obtenir f(0} (ou la valeur correspondante sur la tangente).