Karteikarten: Limite et continuité — 48 Karten

Quelle est la condition de continuité d'une fonction f en un point x₀ ?

La limite de f en x₀ est égale à f(x₀).

Qu'impose la continuité à droite d'une fonction f en x₀ ?

La limite de f en x₀ par la droite est égale à f(x₀).

Qu'impose la continuité à gauche d'une fonction f en x₀ ?

La limite de f en x₀ par la gauche est égale à f(x₀).

Quand une fonction est-elle continue en un point x₀ ?

Si elle est continue à droite et à gauche en x₀.

Que signifie la continuité en x₀ en termes de limites latérales ?

Les deux limites latérales sont égales à f(x₀).

Que fait-on pour étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point ?

On calcule la limite correspondante et on la compare à la valeur en ce point.

Qu'est-ce qu'une fonction continue sur un intervalle ouvert ?

Elle est continue en chacun de ses points.

Qu'exige la continuité sur un intervalle [a,b[ ?

La continuité en tout point intérieur et à droite en a.

Quelles continuités sont nécessaires sur un intervalle fermé [a,b] ?

Continuité sur ]a,b[, à droite en a et à gauche en b.

Quelle est la première étape pour étudier la continuité d'une fonction par morceaux ?

Justifier la continuité sur les sous-intervalles.

Que faut-il vérifier après la continuité sur les sous-intervalles pour une fonction par morceaux ?

La continuité en chaque point de raccordement.

Quelles fonctions sont continues sur tout intervalle où elles sont définies ?

Les fonctions polynômes, constantes, rationnelles, racine carrée, exponentielles, trigonométriques et leurs compositions.

Que devient la somme de deux fonctions continues en un point a ?

Elle est continue en a.

Que devient le produit de deux fonctions continues en un point a ?

Il est continu en a.

Que dire de la fonction 1/g si g est continue en a et g(a)≠0 ?

La fonction 1/g est continue en a.

Que dire de la fonction f/g si f et g sont continues en a et g(a)≠0 ?

La fonction f/g est continue en a.

Quelle propriété de continuité a la composée g∘f si f est continue sur I et g sur f(I) ?

La composée g∘f est continue sur I.

Que vaut la limite de v(u(x)) quand x tend vers x₀ si lim u(x)=l et v est continue en l ?

La limite vaut v(l).

Qu'impose la continuité d'une fonction sur l'image d'un intervalle ?

L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Quelle forme prend l'image de [a,b] par une fonction continue f ?

L'image est l'intervalle [m,M] où m et M sont le minimum et maximum de f sur [a,b].

Que représente m dans l'image f([a,b])=[m,M] d'une fonction continue ?

m est le minimum de f sur [a,b].

Quelle est l'image de l'intervalle [1,2] par f(x)=x²+1 ?

L'image est [2,5].

Quelle est l'image de l'intervalle [0,1[ par f(x)=x²+1 ?

L'image est [1,2[.

Comment déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone ?

On calcule les images des extrémités et les limites aux extrémités non incluses.

Quelle condition doit remplir f pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ?

f doit être continue sur un intervalle I.

Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour k entre f(a) et f(b) ?

Il existe au moins un c dans [a,b] tel que f(c)=k.

Que se passe-t-il si f est continue et strictement monotone sur I ?

L'équation f(x)=k admet une unique solution dans I pour tout k dans f(I).

Pourquoi l'équation x³−x+3=0 admet-elle une solution dans ]−2,0[ ?

Parce que le polynôme est continu et f(−2) et f(0) encadrent zéro.

Que permet d'étudier le théorème des valeurs intermédiaires ?

L'existence de solutions d'équations, certaines inéquations et le signe d'expressions continues.

Qu'impose la continuité et la stricte monotonie de f sur un intervalle I ?

f établit une bijection de I sur f(I).

Sur quel ensemble est définie la fonction réciproque f⁻¹ de f ?

f⁻¹ est définie sur J = f(I).

Quelle relation caractérise la fonction réciproque f⁻¹ ?

y = f(x) si et seulement si x = f⁻¹(y).

Quelles propriétés possède la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone ?

Elle est continue et strictement monotone sur f(I).

Quel est le sens de monotonie de la fonction réciproque d'une fonction strictement monotone ?

Il est le même que celui de la fonction d'origine.

Sous quelle condition f⁻¹ est-elle dérivable en y₀ = f(x₀) ?

Si f est dérivable en x₀ et f′(x₀) ≠ 0.

Quelle est la formule de la dérivée de f⁻¹ en y₀ ?

(f⁻¹)'(y₀) = 1 / f′(x₀).

Comment s'exprime (f⁻¹)'(y₀) en fonction de f′ et f⁻¹ ?

(f⁻¹)'(y₀) = 1 / f′(f⁻¹(y₀)).

Qu'est-ce que la fonction racine n-ième pour n≥1 ?

C'est la réciproque de la fonction x↦xⁿ sur ℝ₊.

Quelle équivalence relie y=xⁿ et x en termes de racine n-ième ?

y=xⁿ équivaut à x=√[n]{y} pour x,y∈ℝ₊*.

Comment s'exprime la racine n-ième du produit ab ?

√[n]{ab} = √[n]{a} × √[n]{b}.

Comment s'exprime la racine n-ième du quotient a/b ?

√[n]{a/b} = √[n]{a} ÷ √[n]{b}.

Comment s'exprime la racine n-ième de a≥0 avec n≥2 en puissance ?

√[n]{a} = a^{1/n}.

Qu'est-ce que la méthode de dichotomie ?

Une méthode qui encadre une solution de f(x)=0 en divisant un intervalle où f change de signe.

Quelle condition garantit une solution de f(x)=0 sur [a,b] ?

f est continue sur [a,b] avec f(a)≤0 et f(b)≥0.

Comment choisit-on le nouvel intervalle à chaque étape de dichotomie ?

On calcule m=(a+b)/2 et on conserve [m,b] si f(m)≤0, sinon [a,m].

Quelle est la formule de la longueur de l'intervalle après n étapes ?

bₙ−aₙ = (b−a) / 2ⁿ.

Pourquoi applique-t-on la dichotomie à f(x)=x²−10 sur [3,4] pour √10 ?

Parce que f(3)≤0≤f(4), donc l'intervalle encadre √10.

Quelle approximation de √10 obtient-on après huit étapes de dichotomie ?

3,160 ≤ √10 ≤ 3,165.