Quiz: Limite et continuité — 20 questions

1. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction f en un point x₀ ?

A. La limite de f en x₀ est égale à f(x₀)

B. Les limites à droite et à gauche sont infinies en x₀

C. La limite de f en x₀ existe, quelle que soit la valeur de f(x₀)

D. La valeur f(x₀) existe, même si la limite est différente

Answer: (A)

Explanation

f est continue en x₀ lorsque la limite de f quand x tend vers x₀ est égale à f(x₀). L’existence de f(x₀) seule ne suffit pas.

2. Une fonction f est-elle continue en x₀ si et seulement si ses limites à droite et à gauche en x₀ sont égales à f(x₀) ?

A. Non, seules les valeurs de f pour x>x₀ interviennent

B. Oui, car les deux limites latérales doivent coïncider avec f(x₀)

C. Oui, dès que l’une des deux limites latérales vaut f(x₀)

D. Non, il suffit que f(x₀) soit définie

Answer: (B)

Explanation

La continuité en x₀ équivaut à la continuité à droite et à gauche en ce point. Les deux limites latérales doivent donc être égales à f(x₀).

3. Que faut-il vérifier pour établir qu’une fonction est continue sur un intervalle ouvert ?

A. Sa continuité uniquement aux extrémités de l’intervalle

B. L’existence d’une limite commune aux deux extrémités

C. Sa continuité en chacun des points de l’intervalle

D. Sa continuité à droite en chaque point seulement

Answer: (C)

Explanation

Sur un intervalle ouvert, la continuité signifie que la fonction est continue en chacun de ses points. Il n’y a pas d’extrémité appartenant à l’intervalle à traiter séparément.

4. Pour une fonction définie sur [a,b[, quelles conditions de continuité faut-il vérifier ?

A. La continuité en tout point intérieur et à droite en a

B. La continuité uniquement sur l’intervalle ouvert ]a,b[

C. La continuité à droite en b et en tout point intérieur

D. La continuité à gauche en a et en b

Answer: (A)

Explanation

Sur [a,b[, il faut vérifier la continuité en tout point intérieur ainsi que la continuité à droite en a, qui est l’extrémité incluse du côté gauche.

5. Pour montrer qu’une fonction est continue sur [a,b], quelle vérification est nécessaire aux extrémités ?

A. La continuité bilatérale en a et en b

B. La continuité à droite en a et à gauche en b

C. Aucune vérification aux extrémités n’est nécessaire

D. La continuité à gauche en a et à droite en b

Answer: (B)

Explanation

Sur [a,b], il faut vérifier la continuité sur ]a,b[, la continuité à droite en a et la continuité à gauche en b, conformément aux directions accessibles dans l’intervalle.

6. Laquelle de ces familles de fonctions est continue sur tout intervalle où elle est définie ?

A. Les fonctions trigonométriques, uniquement aux points où elles valent zéro

B. Les fonctions polynômes, racine carrée, exponentielles et trigonométriques, ainsi que leurs compositions

C. Les fonctions rationnelles, mais seulement lorsque leur dénominateur est nul

D. Les fonctions polynômes et exponentielles, mais pas leurs compositions

Answer: (B)

Explanation

Les fonctions polynômes, constantes, rationnelles, racine carrée, exponentielles, trigonométriques et leurs compositions sont continues partout où elles sont définies.

7. Si f et g sont continues en a, quelle affirmation est correcte ?

A. fg est continue seulement si f(a) et g(a) sont non nuls

B. f+g est continue seulement si g(a) est non nul

C. |f| est continue seulement lorsque f(a) est positif

D. f+g, fg, λf et |f| sont continues en a pour tout réel λ

Answer: (D)

Explanation

La somme, le produit, le produit par un réel et la valeur absolue d’une fonction continue en a restent continus en a. Aucune condition de non-annulation n’est requise pour ces opérations.

8. Dans quelles conditions la composée g∘f est-elle continue sur un intervalle I ?

A. Lorsque g est continue sur I, quelle que soit la régularité de f

B. Lorsque f est continue sur f(I) et g sur I

C. Lorsque f et g sont continues uniquement en un même point de I

D. Lorsque f est continue sur I et g est continue sur f(I)

Answer: (D)

Explanation

La composée g∘f est continue sur I si f est continue sur I et si g est continue sur l’image f(I). Cette condition garantit que g est continue aux valeurs prises par f.

9. Quelle propriété possède l’image d’un intervalle par une fonction continue ?

A. Elle est nécessairement un singleton

B. Elle est nécessairement un ensemble fini

C. Elle est nécessairement un intervalle

D. Elle est nécessairement un segment fermé

Answer: (C)

Explanation

La continuité garantit que l’image d’un intervalle est elle-même un intervalle. Elle ne garantit pas qu’il soit fermé, fini ou réduit à un point.

10. Soit f continue sur [a,b], avec un minimum m et un maximum M atteints sur ce segment. Quelle est l’image de [a,b] par f ?

A. L’intervalle ]m,M[

B. L’intervalle [m,M]

C. L’intervalle [a,b]

D. L’ensemble {m,M}

Answer: (B)

Explanation

Sur le segment [a,b], les extrema sont atteints et la continuité fournit toutes les valeurs intermédiaires entre eux. Ainsi, f([a,b])=[m,M].

11. Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur un intervalle ?

A. L’absence de solution lorsque f(a) et f(b) sont distinctes

B. L’existence d’une unique solution f(c)=k pour toute valeur k

C. La dérivabilité de f en tout point de l’intervalle

D. L’existence d’au moins une solution f(c)=k lorsque k est entre f(a) et f(b)

Answer: (D)

Explanation

Le théorème garantit qu’une valeur intermédiaire est prise au moins une fois. L’unicité nécessite une hypothèse supplémentaire, comme la stricte monotonie.

12. Pourquoi une fonction continue et strictement monotone permet-elle d’assurer l’unicité d’une solution de f(x)=k ?

A. Parce que l’image de f est toujours un segment fermé

B. Parce que toute fonction continue est strictement monotone

C. Parce que la stricte monotonie rend f injective

D. Parce que la continuité rend f injective

Answer: (C)

Explanation

La stricte monotonie entraîne l’injectivité : une même valeur k ne peut donc correspondre à deux antécédents distincts. La continuité assure plutôt l’existence lorsque k appartient à l’image.

13. Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, quelle affirmation est correcte ?

A. f est seulement surjective de I vers tout ℝ

B. f établit une bijection de f(I) sur I sans être inversible

C. f est nécessairement constante sur I

D. f établit une bijection de I sur f(I)

Answer: (D)

Explanation

La stricte monotonie donne l’injectivité et la continuité fait de f(I) un intervalle, tandis que f est par définition surjective sur son image. f est donc une bijection de I sur f(I).

14. Si J=f(I), où la fonction réciproque f⁻¹ est-elle définie ?

A. Sur l’ensemble des valeurs prises par les antécédents de f

B. Sur J=f(I)

C. Sur l’ensemble des réels quelle que soit f

D. Sur l’intervalle I uniquement

Answer: (B)

Explanation

La fonction réciproque reçoit comme entrées les valeurs de f, donc elle est définie sur J=f(I). Elle renvoie à chaque y de J son unique antécédent dans I.

15. Soit f dérivable en x₀, avec f′(x₀)≠0, et y₀=f(x₀). Quelle est la valeur de la dérivée de la fonction réciproque en y₀ ?

A. (f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀)

B. (f⁻¹)′(y₀)=1+f′(x₀)

C. (f⁻¹)′(y₀)=f′(x₀)

D. (f⁻¹)′(y₀)=f′(x₀)²

Answer: (A)

Explanation

Lorsque f′(x₀) est non nulle, la dérivée de la réciproque en y₀=f(x₀) est l’inverse de f′(x₀).

16. Sur quel intervalle la fonction définie par x↦xⁿ admet-elle pour réciproque la fonction racine n-ième ?

A. Sur ℝ tout entier

B. Sur ℝ₋*

C. Sur ]−1,1[

D. Sur ℝ₊

Answer: (D)

Explanation

La fonction x↦xⁿ est continue et strictement croissante sur ℝ₊, ce qui lui permet d’y admettre pour réciproque la fonction racine n-ième. Pour certains n pairs, elle n’est pas injective sur ℝ tout entier.

17. Pour x,y∈ℝ₊*, quelle équivalence permet de résoudre y=xⁿ ?

A. y=xⁿ si et seulement si x=ny

B. y=xⁿ si et seulement si x=1/√[n]{y}

C. y=xⁿ si et seulement si x=yⁿ

D. y=xⁿ si et seulement si x=√[n]{y}

Answer: (D)

Explanation

Sur les réels strictement positifs, y=xⁿ équivaut à x=√[n]{y}. La racine n-ième désigne ici la solution positive.

18. Que fait la méthode de dichotomie lorsqu’elle cherche une solution de f(x)=0 ?

A. Elle agrandit progressivement un intervalle sans condition sur f

B. Elle remplace f par une fonction affine sur tout ℝ

C. Elle calcule directement la dérivée de f en chaque extrémité

D. Elle divise par deux un intervalle où f change de signe

Answer: (D)

Explanation

La dichotomie encadre progressivement une solution en divisant par deux un intervalle sur lequel f change de signe. Cette procédure réduit successivement l’intervalle de recherche.

19. Si f est continue sur [a,b], avec f(a)≤0 et f(b)≥0, que peut-on conclure ?

A. f possède au moins une racine dans [a,b]

B. f possède exactement une racine dans [a,b]

C. f est nécessairement strictement monotone sur [a,b]

D. f ne possède aucune racine dans [a,b]

Answer: (A)

Explanation

La continuité et le changement de signe garantissent l’existence d’au moins une solution de f(x)=0 dans [a,b]. L’unicité nécessiterait une hypothèse supplémentaire, telle que la stricte monotonie.

20. Lors d’une étape de dichotomie, que devient l’intervalle si m=(a+b)/2 et f(m)≤0 ?

A. On conserve l’intervalle [m,b]

B. On conserve l’intervalle [a,m]

C. On conserve l’intervalle [a,b] sans le modifier

D. On remplace l’intervalle par [f(a),f(b)]

Answer: (A)

Explanation

Lorsque f(m)≤0, le milieu joue le rôle de nouvelle borne gauche et l’on conserve [m,b]. Si f(m)>0, on conserverait plutôt [a,m].