La limite de f en x₀ est égale à f(x₀)
Erklärung
f est continue en x₀ lorsque la limite de f quand x tend vers x₀ est égale à f(x₀). L’existence de f(x₀) seule ne suffit pas.
Oui, car les deux limites latérales doivent coïncider avec f(x₀)
Erklärung
La continuité en x₀ équivaut à la continuité à droite et à gauche en ce point. Les deux limites latérales doivent donc être égales à f(x₀).
Sa continuité en chacun des points de l’intervalle
Erklärung
Sur un intervalle ouvert, la continuité signifie que la fonction est continue en chacun de ses points. Il n’y a pas d’extrémité appartenant à l’intervalle à traiter séparément.
La continuité en tout point intérieur et à droite en a
Erklärung
Sur [a,b[, il faut vérifier la continuité en tout point intérieur ainsi que la continuité à droite en a, qui est l’extrémité incluse du côté gauche.
La continuité à droite en a et à gauche en b
Erklärung
Sur [a,b], il faut vérifier la continuité sur ]a,b[, la continuité à droite en a et la continuité à gauche en b, conformément aux directions accessibles dans l’intervalle.
Les fonctions polynômes, racine carrée, exponentielles et trigonométriques, ainsi que leurs compositions
Erklärung
Les fonctions polynômes, constantes, rationnelles, racine carrée, exponentielles, trigonométriques et leurs compositions sont continues partout où elles sont définies.
f+g, fg, λf et |f| sont continues en a pour tout réel λ
Erklärung
La somme, le produit, le produit par un réel et la valeur absolue d’une fonction continue en a restent continus en a. Aucune condition de non-annulation n’est requise pour ces opérations.
Lorsque f est continue sur I et g est continue sur f(I)
Erklärung
La composée g∘f est continue sur I si f est continue sur I et si g est continue sur l’image f(I). Cette condition garantit que g est continue aux valeurs prises par f.
Elle est nécessairement un intervalle
Erklärung
La continuité garantit que l’image d’un intervalle est elle-même un intervalle. Elle ne garantit pas qu’il soit fermé, fini ou réduit à un point.
L’intervalle [m,M]
Erklärung
Sur le segment [a,b], les extrema sont atteints et la continuité fournit toutes les valeurs intermédiaires entre eux. Ainsi, f([a,b])=[m,M].
L’existence d’au moins une solution f(c)=k lorsque k est entre f(a) et f(b)
Erklärung
Le théorème garantit qu’une valeur intermédiaire est prise au moins une fois. L’unicité nécessite une hypothèse supplémentaire, comme la stricte monotonie.
Parce que la stricte monotonie rend f injective
Erklärung
La stricte monotonie entraîne l’injectivité : une même valeur k ne peut donc correspondre à deux antécédents distincts. La continuité assure plutôt l’existence lorsque k appartient à l’image.
f établit une bijection de I sur f(I)
Erklärung
La stricte monotonie donne l’injectivité et la continuité fait de f(I) un intervalle, tandis que f est par définition surjective sur son image. f est donc une bijection de I sur f(I).
Sur J=f(I)
Erklärung
La fonction réciproque reçoit comme entrées les valeurs de f, donc elle est définie sur J=f(I). Elle renvoie à chaque y de J son unique antécédent dans I.
(f⁻¹)′(y₀)=1/f′(x₀)
Erklärung
Lorsque f′(x₀) est non nulle, la dérivée de la réciproque en y₀=f(x₀) est l’inverse de f′(x₀).
Sur ℝ₊
Erklärung
La fonction x↦xⁿ est continue et strictement croissante sur ℝ₊, ce qui lui permet d’y admettre pour réciproque la fonction racine n-ième. Pour certains n pairs, elle n’est pas injective sur ℝ tout entier.
y=xⁿ si et seulement si x=√[n]{y}
Erklärung
Sur les réels strictement positifs, y=xⁿ équivaut à x=√[n]{y}. La racine n-ième désigne ici la solution positive.
Elle divise par deux un intervalle où f change de signe
Erklärung
La dichotomie encadre progressivement une solution en divisant par deux un intervalle sur lequel f change de signe. Cette procédure réduit successivement l’intervalle de recherche.
f possède au moins une racine dans [a,b]
Erklärung
La continuité et le changement de signe garantissent l’existence d’au moins une solution de f(x)=0 dans [a,b]. L’unicité nécessiterait une hypothèse supplémentaire, telle que la stricte monotonie.
On conserve l’intervalle [m,b]
Erklärung
Lorsque f(m)≤0, le milieu joue le rôle de nouvelle borne gauche et l’on conserve [m,b]. Si f(m)>0, on conserverait plutôt [a,m].
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Quelle est la condition de continuité d'une fonction f en un point x₀ ?
La limite de f en x₀ est égale à f(x₀).
Qu'impose la continuité à droite d'une fonction f en x₀ ?
La limite de f en x₀ par la droite est égale à f(x₀).
Qu'impose la continuité à gauche d'une fonction f en x₀ ?
La limite de f en x₀ par la gauche est égale à f(x₀).
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