Lernzettel: Maîtrise des calculs, suites et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Automatismes de calcul et de pourcentages
2. Suites et probabilités
3. Fonction du second degré
4. Tableau à double entrée
5. Cotisations et suite arithmétique

📖 1. Automatismes de calcul et de pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation de 20 % : Variation multiplicative où un prix est multiplié par 1,2 lorsqu’on augmente de 20 %.
• Baisse de 10 % : Variation multiplicative où un prix est multiplié par 0,9 lorsqu’on baisse de 10 %.
• Double augmentation de 20 % : Effet cumulé où deux augmentations successives de 20 % donnent un coefficient multiplicatif 1,2×1,2.
• Valeurs d’un pourcentage : Écrire un pourcentage revient à multiplier par un coefficient du type 1 + p/100 ou 1 − p/100 selon le sens.

📝 Points essentiels

• Pour un prix multiplié par 1,2 après une augmentation de 20 %, 400 € devient 480 €.
• Pour un prix multiplié par 0,9 après une baisse de 10 %, 130 € devient 117 €.
• Deux augmentations successives de 20 % reviennent à multiplier par (1,2)², soit 1,44.
• Si 1/4 votent A, 20 % votent B et 1/3 votent C, alors le reste vote D, donc D = 1 − (1/4 + 0,2 + 1/3).
• La durée de 75 minutes vaut 1,25 heure car 1 heure = 60 minutes.

💡 Astuce mémo

+20 % = ×1,2 ; −10 % = ×0,9 ; deux fois +20 % = (×1,2)² = ×1,44.

📖 2. Suites et probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une même raison à partir du terme précédent.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant par une même raison à partir du terme précédent.
• Probabilité d’événements : Mesure de la proportion de cas favorables dans un ensemble de cas possibles équiprobables.
• Événements contraires : Deux événements sont complémentaires si l’un se produit exactement quand l’autre ne se produit pas.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r = 1/2 avec u50 = 1000, on a u60 = u50 + 10r = 1005.
• Pour une suite géométrique de raison q positive avec u100 = 5 et u102 = 20, on obtient q² = 4 donc q = 2 et alors u99 = u100/q = 2,5.
• L’équation x + x = x² équivaut à 2x = x² puis x² − 2x = 0, ce qui donne au moins un réel solution (par exemple x = 0 ou x = 2).
• Avec deux pièces équilibrées, le nombre de cas favorables quand on gagne si même côté donne 2 cas sur 4, donc 1/2 plutôt que 1/4.
• La probabilité de l’intersection (venir lundi et jeudi) se calcule en utilisant les nombres du tableau, et la probabilité conditionnelle se calcule en divisant par le total du jour connu.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : +r ; Géométrique : ×q ; Conditionnelle : P(A|B) = cases AB / cases B.

📖 3. Fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction quadratique : Fonction de la forme f(x) = ax² + bx + c, où a ≠ 0, avec une courbe en parabole.
• Factorisation (x − 1)(5 − x) : Forme produit utile pour retrouver les zéros d’une expression et faciliter la résolution d’inégalités.
• Sommet d’une parabole : Point où la parabole atteint son maximum ou minimum, repérable via l’écriture par un carré parfait.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = −x² + 6x − 5, on a f(0) = −5 et f(3) = 4.
• On vérifie l’identité (x − 1)(5 − x) = −x² + 6x − 5 par développement.
• Les antécédents de 0 se déduisent de (x − 1)(5 − x) = 0, donc x = 1 ou x = 5.
• L’identité 4 − (x − 3)² = −x² + 6x − 5 permet d’écrire f sous forme de carré.
• L’inégalité f(x) > 4 n’est pas réalisable car elle reviendrait à 4 − (x − 3)² > 4 donc (x − 3)² < 0, impossible sur les réels.

💡 Astuce mémo

Écrire sous la forme 4 − (x − 3)² montre que f(x) ≤ 4 : le maximum est 4 au point x = 3.

📖 4. Tableau à double entrée

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau à double entrée : Matrice croisant deux caractères, donnant des effectifs sur les lignes et colonnes.
• Effectif total : Somme de tous les effectifs du tableau, ici 100 adhérents.
• Probabilité à partir d’un tableau : Méthode consistant à diviser un effectif favorable par l’effectif total quand les cas sont équiprobables.

📝 Points essentiels

• Dans le tableau des séances, x représente l’effectif des adhérents présents les deux jours : lundi et jeudi.
• Le nombre 45 correspond aux présents le lundi (colonne jeudi), et 75 correspond aux présents le jeudi (ligne lundi) d’après la structuration du tableau avec x.
• Comme le total est 100, le nombre absents lundi et jeudi vaut 5 car la case absents des deux jours est la valeur manquante 5 dans le tableau donné.
• La proba qu’un adhérent soit venu un seul jour vaut (absents lundi et présents jeudi + présents lundi et absents jeudi) / 100.
• La proba qu’il soit aussi venu jeudi sachant qu’il est venu lundi vaut (effectif lundi et jeudi) / (effectif venu lundi) soit x/65.

💡 Astuce mémo

Effectif commun = case cellule du croisement ; probabilité = case / total ; conditionnelle = case / ligne ou colonne imposée.

📖 5. Cotisations et suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Cotisation annuelle : Montant payé chaque année par chaque adhérent, ici 100 euros par adhérent.
• Somme d’une suite arithmétique : Somme des termes successifs d’une suite arithmétique sur un intervalle d’indices consécutifs.

📝 Points essentiels

• En 2026, le club compte 100 adhérents et le total des cotisations vaut 100 × 100 = 10 000 euros.
• Entre 2026 et 2041 inclus, le nombre d’adhérents suit une suite arithmétique de premier terme 100 et de raison 5.
• Le montant total sur 2026–2041 est 100 fois la somme des termes de la suite arithmétique du nombre d’adhérents.
• On peut utiliser la formule a + (a + r) + (a + 2r) + · · · + (a + nr) = 2a + nr / 2 × (n + 1) pour calculer la somme demandée.
• Si les adhérents augmentent de 5 chaque année, alors les termes successifs sont 100, 105, 110, 115 et ainsi de suite jusqu’à 2041.

💡 Astuce mémo

Cotisations = 100 × (somme de la suite des adhérents) ; adhérents : 100 puis +5 chaque année.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. En pourcentages, confondre +p % et ×(1+p/100) conduit à une mauvaise valeur, par exemple une augmentation de 20 % ne donne pas ×0,8.
2. En double variation, additionner 20 % + 20 % au lieu de multiplier par 1,2 puis par 1,2 donne un coefficient faux.
3. Pour une suite géométrique, confondre q et q² (ou utiliser une mauvaise puissance d’écart d’indice) fait immédiatement dérailler u99.
4. Dans une équation quadratique, lire la factorisation comme une égalité entre facteurs sans vérifier le signe mène à des solutions erronées.
5. Avec un tableau à double entrée, confondre le total d’une ligne/colonne et l’effectif total 100 casse les probabilités conditionnelles.
6. Pour f(x) > 4 avec f(x)=4−(x−3)², oublier que le carré d’un réel est toujours ≥ 0 conduit à croire que l’inégalité peut être vraie.
7. Pour la somme sur plusieurs années, confondre l’intervalle inclus (2026 à 2041 inclus) change le nombre de termes n+1 et donc le total final.

✅ Checklist Examen

1. Calculer un nouveau prix après une augmentation de pourcentage en utilisant un coefficient multiplicatif.
2. Calculer un nouveau prix après une baisse de pourcentage en utilisant un coefficient multiplicatif.
3. Calculer le résultat de deux augmentations successives identiques en utilisant le produit des coefficients.
4. Déterminer le candidat ayant le moins de votes à partir de fractions et pourcentages qui s’additionnent au reste.
5. Utiliser la formule d’une suite arithmétique avec la raison r pour obtenir un terme u60 depuis u50.
6. Utiliser la relation entre deux termes d’une suite géométrique pour retrouver la raison q et en déduire un autre terme.
7. Résoudre l’équation x + x = x² en identifiant toutes les solutions réelles.
8. Évaluer f(0) et f(3) pour une fonction quadratique donnée.
9. Résoudre (x − 1)(5 − x)=0 pour obtenir les antécédents de 0.
10. Reconnaître que l’écriture 4 − (x − 3)² donne immédiatement le maximum de f et l’impossibilité de f(x) > 4.
11. Lire et interpréter x dans un tableau à double entrée comme un effectif de croisement.
12. Calculer une probabilité à partir du tableau en faisant effectif favorable / total.
13. Calculer une probabilité conditionnelle en faisant effectif du croisement / effectif de la catégorie imposée.
14. Calculer un total de cotisations en multipliant le nombre d’adhérents par 100, puis en utilisant la somme d’une suite arithmétique pour la période 2026–2041 inclus.