Lernzettel: Maîtrise des équations du premier degré

📋 Plan du Cours

1. Définitions et vocabulaire des équations
2. Vérifier une solution
3. Résolution des équations ax + b = c
4. Propriétés d'équivalence

📖 1. Définitions et vocabulaire des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une équation est une égalité qui comporte une ou plusieurs lettres, dont au moins une inconnue.
• Inconnue : Une inconnue est la lettre d’une équation qui représente une valeur à trouver pour que l’égalité soit vraie.
• 1er membre : Le 1er membre est l’expression placée à gauche du signe d’égalité dans une équation.
• 2ème membre : Le 2ème membre est l’expression placée à droite du signe d’égalité dans une équation.
• Solution d’une équation : Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie dans l’équation.

📝 Points essentiels

• Une équation se lit avec un 1er membre à gauche et un 2ème membre à droite séparés par le signe « = ».
• Résoudre une équation revient à trouver la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
• Dans 3x − 2 = 7, x est l’inconnue et l’égalité concerne la valeur de x pour que les deux membres soient égaux.

💡 Astuce mémo

Membres = Gauche et Droite : tout ce qui compte, c’est que les deux côtés donnent le même résultat.

📖 2. Vérifier une solution

🔑 Notions clés & Définitions

• Tester une valeur : Tester une valeur consiste à remplacer l’inconnue par cette valeur, puis à comparer les résultats des deux membres.
• Résultats des deux membres : Les résultats des deux membres sont les valeurs obtenues après calcul du 1er membre et du 2ème membre avec la valeur testée.

📝 Points essentiels

• Pour vérifier si un nombre est solution, on remplace l’inconnue par ce nombre dans chaque membre, puis on calcule le 1er membre et le 2ème membre.
• Si les deux résultats sont identiques, le nombre est une solution ; sinon, il ne l’est pas.
• Pour l’équation 4x − 2 = 7 + x, x = 1 n’est pas solution car 4·1−2 ≠ 7+1, alors que x = 3 est solution car 4·3−2 = 7+3.
• Le nombre 2 n’est pas solution de 3x = 14 − 2x car 3·2 ≠ 14−2·2, et le nombre 6 est solution de 5x + 4 = 2x + 22 car 5·6+4 = 2·6+22.

💡 Astuce mémo

Même valeur testée dans Gauche et Droite : si ça coïncide, c’est une solution.

📖 3. Résolution des équations ax + b = c

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité où l’inconnue apparaît à la puissance 1.
• Opérations successives : Les opérations successives sont des calculs appliqués étape par étape aux deux membres pour isoler l’inconnue.
• Inconnue isolée : L’inconnue isolée est l’état final où l’on obtient une expression du type x = valeur.

📝 Points essentiels

• Résoudre une équation de type ax + b = c consiste à chercher la valeur de x (s’il y en a une) qui vérifie l’égalité.
• On applique des opérations successives aux deux membres pour faire apparaître l’inconnue d’un seul côté.
• Les opérations utilisées servent à « simplifier » l’expression de chaque côté jusqu’à obtenir x seul.

💡 Astuce mémo

Objectif : isoler x d’un côté, donc « déplacer » et « supprimer » le reste par étapes.

📖 4. Propriétés d'équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence d’équations : Deux équations sont équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions pour l’inconnue.
• Opération sur les deux membres : Une opération sur les deux membres consiste à appliquer la même transformation numérique au 1er membre et au 2ème membre.

📝 Points essentiels

• On peut additionner un même nombre aux deux membres sans changer l’ensemble des solutions.
• On peut soustraire, multiplier ou diviser par un même nombre les deux membres sans changer l’ensemble des solutions.
• Quand on divise les deux membres, on ne doit pas diviser par 0 (le terme de division doit être non nul).

💡 Astuce mémo

Même opération, même côté + même chiffre : les solutions restent les mêmes.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le 1er membre (à gauche) et le 2ème membre (à droite) quand on remplace l’inconnue pour tester une solution.
2. Dire qu’un nombre est solution sans comparer les deux résultats après remplacement dans chaque membre.
3. Isoler x d’un seul côté sans appliquer la même opération aux deux membres, ce qui peut modifier les solutions.
4. Multiplier ou diviser un seul membre au lieu des deux, ce qui casse l’équivalence.
5. En divisant, oublier la condition de non-nullité du nombre par lequel on divise.
6. Lire « résoudre » comme « calculer les deux côtés à l’avance » au lieu de chercher la valeur(s) de l’inconnue qui rend(ent) l’égalité vraie.

✅ Checklist Examen

1. Définir ce qu’est une équation et reconnaître le rôle de l’inconnue dans une écriture donnée.
2. Identifier correctement le 1er membre et le 2ème membre d’une équation à partir de la position par rapport au signe « = ».
3. Expliquer ce que signifie « résoudre une équation » avec le critère d’égalité vraie.
4. Vérifier une solution en remplaçant l’inconnue par une valeur donnée dans chaque membre puis en comparant les résultats.
5. Conclure correctement : égalité des résultats => valeur solution ; différence => valeur non solution.
6. Résoudre une équation du type ax + b = c en appliquant des opérations successives pour isoler x.
7. Utiliser la règle : addition/soustraction du même nombre aux deux membres sans changer les solutions.
8. Utiliser la règle : multiplication des deux membres par un même nombre sans changer les solutions.
9. Utiliser la règle : division des deux membres par un même nombre non nul sans changer les solutions.
10. Pour les équations données, déterminer si x = 1 et x = 3 conviennent pour 4x − 2 = 7 + x.
11. Pour les équations données, déterminer si x = 2 convient pour 3x = 14 − 2x puis si x = 6 convient pour 5x + 4 = 2x + 22.