Lernzettel: Maîtrise des fonctions affines et leur représentation

📋 Plan du Cours

1. Tarifs et fonctions affines
2. Calcul d’images et tableaux
3. Construction du graphique affine
4. Ordonnée à l’origine et zéro
5. Pente et équation d’une droite
6. Droite à partir du graphique
7. Cas particuliers des droites
8. Tableau de signes affine

📖 1. Tarifs et fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du premier degré : Une fonction du premier degré relie deux variables x et y et s’écrit sous la forme f(x)=mx+p avec m réel non nul.
• Fonction linéaire : Une fonction linéaire est une fonction du premier degré de la forme f(x)=mx dont le graphique passe par l’origine du repère.
• Fonction constante : Une fonction constante a la forme f(x)=p et son graphique est une droite parallèle à l’axe des x.

📝 Points essentiels

• Tarif A correspond à un prix fixe : fA(x)=60, donc c’est une fonction constante.
• Tarif B correspond à un coût proportionnel au temps : fB(x)=4x, donc c’est une fonction linéaire.
• Tarif C correspond à un abonnement plus un coût horaire : fC(x)=20+2x, donc c’est une fonction du premier degré affine.
• Pour Paul avec 7h30 (x=7,5), les prix sont 60 pour A, 30 pour B et 35 pour C : le tarif le plus avantageux est B.
• Pour Ace avec 15h (x=15), les prix sont 60 pour A, 60 pour B et 50 pour C : le tarif le plus avantageux est C.
• Pour Peter avec 30h (x=30), les prix sont 60 pour A, 120 pour B et 80 pour C : le tarif le plus avantageux est A.

💡 Astuce mémo

mx+p : m est le “coût qui dépend de x”, p est le “prix de départ”.

📖 2. Calcul d’images et tableaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un réel : L’image d’un réel par une fonction est la valeur de y obtenue quand on remplace x par ce réel dans la relation de la fonction.
• Tableau de valeurs : Un tableau de valeurs associe, pour des abscisses données x, les ordonnées correspondantes y de la fonction.
• Lecture dans un tableau : La lecture dans un tableau consiste à retrouver y situé sur la même ligne que la valeur x dont on cherche l’image.

📝 Points essentiels

• Pour trouver l’image d’un réel avec un tableau, on lit la valeur y située sous la valeur de x demandée.
• Si l’abscisse cherchée n’apparaît pas dans le tableau, on ne peut pas lire directement l’image et on utilise une autre méthode.
• Avec l’expression analytique, on calcule toujours l’image d’un réel en remplaçant x par ce réel.
• Avec un graphique, l’image d’un réel est l’ordonnée du point de la droite dont l’abscisse est ce réel.
• Pour calculer une image par une fonction, l’écriture f(a) signifie qu’on remplace x par a pour obtenir y.

💡 Astuce mémo

Image f(a) = ordonnée associée à l’abscisse a (dans un tableau : y sur la ligne de a).

📖 3. Construction du graphique affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’abscisse x : Un point du graphique associé à une abscisse $x$ a pour coordonnées $(x;f(x))$ pour la fonction étudiée.
• Graphique affine : Le graphique d’une fonction affine est une droite obtenue en reliant des points dont les coordonnées vérifient l’expression de la fonction.

📝 Points essentiels

• Pour construire le graphique d’une fonction affine, choisis plusieurs valeurs de $x$, calcule $y=f(x)$ puis place les points $(x;y)$ sur le repère.
• Trace ensuite la droite passant par les points placés, ce qui représente la fonction pour toutes les valeurs de $x$ du domaine considéré.
• Pour vérifier que le graphique est correct, calcule l’image d’une autre valeur de $x$ (pas seulement celles du tableau) et vérifie que le point correspondant tombe bien sur la droite.
• Quand on te demande de compléter un graphique à partir d’observations, les points fournis servent à redessiner la droite $f$ qui correspond aux données.
• Si tu connais deux points du graphique, la droite qui les relie est l’unique droite correspondant à la fonction affine correspondante.

💡 Astuce mémo

Table → points → droite : $x$ donne $y=f(x)$, puis on relie les points.

📖 4. Ordonnée à l’origine et zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est l’ordonnée du point d’intersection du graphique avec l’axe y.
• Zéro d’une fonction : Un zéro d’une fonction est l’abscisse du point d’intersection du graphique avec l’axe x.
• Fonction affine mx + p : Une fonction du premier degré s’écrit sous la forme f(x)=mx+p, avec m et p constantes.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=mx+p, l’ordonnée à l’origine vaut p car f(0)=m·0+p=p.
• Pour f(x)=mx+p, le zéro vérifie mx+p=0, donc x=-p/m (avec m≠0).
• Le zéro correspond aux valeurs de x qui annulent la valeur de la fonction, donc où y=0.
• L’ordonnée à l’origine correspond à l’image de 0 par la fonction, donc f(0) donne directement la coordonnée y à x=0.

📖 5. Pente et équation d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente d’une droite : La pente d’une droite est le rapport entre la variation des ordonnées et celle des abscisses pour deux points de la droite.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement d’une fonction affine correspond exactement à la pente de sa droite représentative.
• Fonction affine y = mx + p : Une fonction affine se met sous la forme y = mx + p et sa pente vaut le coefficient m de x.

📝 Points essentiels

• La pente s’écrit m = Δy/Δx = (yB − yA)/(xB − xA) avec deux points distincts A et B de la droite.
• Si m > 0, la fonction y = mx + p est croissante, et si m < 0 elle est décroissante.
• La pente de y = mx + p est égale à m, le coefficient de x dans l’équation.
• Deux droites parallèles ont la même pente, et deux droites de même pente sont parallèles.
• Une droite parallèle à l’axe des x a une pente nulle.
• Une droite parallèle à l’axe des y n’admet pas de pente.

💡 Astuce mémo

Pente = variation de hauteur / variation de temps : m = Δy/Δx.

📖 6. Droite à partir du graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence des ordonnées : La différence des ordonnées Δy mesure l’écart vertical entre les deux points choisis sur la droite.
• Différence des abscisses : La différence des abscisses Δx mesure l’écart horizontal entre les deux points choisis sur la droite.
• Pente : La pente d’une droite est sa valeur numérique égale au rapport Δy/Δx, déterminé à partir du graphique.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer la pente à partir d’un graphique, on choisit deux points de la droite puis on calcule Δx et Δy entre ces points.
• La pente se calcule par le rapport Δy/Δx à partir des différences d’ordonnées et d’abscisses mesurées sur le graphique.
• Si la droite représente une fonction croissante, le rapport Δy/Δx est positif.
• Si la droite représente une fonction décroissante, le rapport Δy/Δx est négatif.
• On peut visualiser le calcul avec un triangle rectangle formé par les deux points, ce qui aide à repérer Δx et Δy.

💡 Astuce mémo

Δy/Δx = montant / avance : signe + si ça monte avec x, signe − si ça descend.

📖 7. Cas particuliers des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite verticale : Droite parallèle à l’axe des y, dont l’équation est de la forme $x=k$ où $k$ est une constante.
• Droite horizontale : Droite parallèle à l’axe des x, dont l’équation est de la forme $y=p$ où $p$ est une constante.
• Points à même abscisse : Cas où deux points ont la même valeur de $x$ et où la droite obtenue a pour équation $x=x_A$.
• Points à même ordonnée : Cas où deux points ont la même valeur de $y$ et où la droite obtenue a pour équation $y=y_A$.

📝 Points essentiels

• Si deux points ont la même abscisse $x_A=x_B$, la droite vérifie $x=x_A$.
• Si deux points ont la même ordonnée $y_A=y_B$, la droite vérifie $y=y_A$.
• Une droite parallèle à l’axe des y s’écrit $x=k$, avec $k$ l’abscisse du point d’intersection avec l’axe $x$.
• Une droite parallèle à l’axe des x s’écrit $y=p$, avec $p$ l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe $y$.
• Exemple : pour $(-3;4)$ et $(-3;1)$, l’équation est $x=-3$.
• Exemple : pour $(-2;3)$ et $(5;3)$, l’équation est $y=3$.

💡 Astuce mémo

Même abscisse ⇒ même $x$ ⇒ droite verticale $x=k$ ; même ordonnée ⇒ même $y$ ⇒ droite horizontale $y=p$.

📖 8. Tableau de signes affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine associe à $x$ une valeur $y=mx+p$ où $m\neq0$ et $p$ sont des constantes.
• Zéro d’une fonction affine : Le zéro est la valeur de $x$ pour laquelle la fonction prend la valeur $0$, donc où $mx+p=0$.
• Signe de la fonction : Le signe de la fonction affine indique si $y$ est positif, nul ou négatif pour une valeur donnée de $x$.

📝 Points essentiels

• Le zéro de $f(x)=mx+p$ vaut $x_0=-\dfrac{p}{m}$ car $mx_0+p=0$ avec $m\neq0$.
• Si $m>0$, alors à droite du zéro ($x>x_0$) on a $f(x)$ de même signe que $m$, donc $f(x)>0$.
• Si $m>0$, alors à gauche du zéro ($x<x_0$) on a $f(x)$ de signe opposé à $m$, donc $f(x)<0$.
• Si $m<0$, alors à droite du zéro ($x>x_0$) on a $f(x)$ de signe opposé à $m$, donc $f(x)<0$.
• Si $m<0$, alors à gauche du zéro ($x<x_0$) on a $f(x)$ de même signe que $m$, donc $f(x)>0$.
• Au point $x=x_0$, la fonction s’annule : $f(x_0)=0$.

💡 Astuce mémo

À droite du zéro, le signe de $f$ suit celui de $m$ si $m>0$ (sinon il s’inverse) ; à gauche, c’est l’inverse toujours.

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions du 1er degré (et droites associées)

Cas	Équation	Graphique/forme	Variations
Fonction constante	y = p	Droite parallèle à l’axe x	Croissante/décroissante : non (fonction constante)
Fonction linéaire	y = mx (p = 0)	Droite passant par (0 ; 0)	Croissante si m > 0 ; décroissante si m < 0
Fonction affine non linéaire	y = mx + p (p ≠ 0)	Droite ne passant pas par (0 ; 0)	Croissante si m > 0 ; décroissante si m < 0
Non fonction	—	Droite verticale x = k	—

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “fonction linéaire” (y = mx et graphique passant par l’origine) avec une fonction affine y = mx + p où p ≠ 0.
2. Croire que l’ordonnée à l’origine vaut le zéro : en réalité, l’ordonnée à l’origine est p (image de 0), et le zéro est l’abscisse où y = 0.
3. Oublier que le zéro vérifie mx + p = 0, donc x = −p/m (m ≠ 0), et ne pas utiliser f(0).
4. Se tromper de signe pour le tableau de signes : le signe de f(x) ne dépend pas seulement du fait d’être à gauche/droite du zéro, mais aussi du signe de m.
5. Calculer la pente en inversant Δy et Δx, ou en prenant deux points mal choisis ; la pente est m = Δy/Δx.
6. Penser qu’une droite parallèle à l’axe y a une pente définie : d’après le cours, elle n’admet pas de pente.
7. Pour une droite constante, écrire à tort une forme de “fonction du premier degré” (alors que le cours dit que ce n’est pas une fonction du premier degré).

✅ Checklist Examen

1. Identifier le type de fonction (constante y = p, linéaire y = mx, affine y = mx + p) et écrire la bonne expression analytique.
2. Calculer une image f(a) en remplaçant x par a dans l’expression, ou en lisant l’ordonnée sur le graphique, ou en lisant y sous x dans un tableau.
3. Construire le graphique affine : calculer au moins deux images, placer (x ; y), puis tracer la droite reliant ces points.
4. Vérifier un graphique : choisir une autre valeur de x, calculer l’image, et vérifier que le point tombe sur la droite.
5. Déterminer l’ordonnée à l’origine : pour f(x) = mx + p, conclure que l’ordonnée à l’origine vaut p (f(0) = p).
6. Déterminer le zéro : résoudre mx + p = 0 et donner x = −p/m, puis interpréter comme l’abscisse où y = 0.
7. Calculer la pente : utiliser m = Δy/Δx à partir de deux points distincts ou lire m comme coefficient de x dans y = mx + p ; conclure croissance/décroissance selon le signe de m.
8. Décrire les cas particuliers avec les bonnes équations : droite verticale x = k (m non applicable) et droite horizontale y = p.
9. À partir d’un graphique, déterminer une équation de droite : trouver la pente m puis l’ordonnée à l’origine p (ou reconnaître directement un cas parallèle aux axes).
10. Remplir un tableau de signes : trouver le zéro x0 = −p/m, placer x0, puis déterminer le signe de f(x) à gauche/droite selon le signe de m.
11. Pour un exercice de tableau de signes, vérifier que f(x0) = 0 et que les signes sont cohérents avec l’inclinaison (m > 0 ou m < 0).