Lernzettel: Maîtrise des inéquations et notations

📋 Plan du Cours

1. Inéquations avec une constante
2. Inéquations entre deux fonctions
3. Notations des intervalles et coordonnées

📖 1. Inéquations avec une constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation f(x)<k : Inéquation où l’on cherche les $x$ pour lesquels la courbe $C_f$ est strictement en dessous de la droite $y=k$.
• Inéquation f(x)≤k : Inéquation où l’on cherche les $x$ pour lesquels la courbe $C_f$ est en dessous ou coupe la droite $y=k$.
• Crochet ouvert : Symbole d’intervalle qui indique que la borne est exclue, correspondant aux inégalités strictes < ou >.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)<k$, on prend les abscisses où $C_f$ est strictement sous $y=k$ et on met des crochets ouverts sur les bornes, donnant $S=]-\infty;x_1[\cup]x_2;+\infty[$.
• Pour $f(x)\le k$, on prend les abscisses où $C_f$ est sous ou sur $y=k$ et on met des crochets fermés sur les bornes, donnant $S=]-\infty;x_1]\cup[x_2;+\infty[$.
• Le sens des crochets indique l’appartenance ou non des bornes à la solution en fonction de $<$ ou de $\le$.

💡 Astuce mémo

Strict = crochet ouvert : rien n’est inclus au point de contact.

📖 2. Inéquations entre deux fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation f(x)<g(x) : Inéquation où l’on cherche les $x$ tels que la courbe de $f$ soit strictement en dessous de la courbe de $g$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre $f(x)<g(x)$, on lit les abscisses des points où la courbe de $f$ est située au-dessous de celle de $g$.
• Dans l’exemple, on obtient une solution de type $S=]-\infty;x_1[\cup]x_2;x_3[\cup]x_3;+\infty[$ en reliant les intervalles à partir des abscisses repérées $x_1$ et $x_2$ (et $x_3$).

💡 Astuce mémo

Sous la courbe, ça “passe” : la partie cherchée est le dessous strict.

📖 3. Notations des intervalles et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnée (a ; b) : Notation de coordonnées d’un point, notée par deux nombres séparés par un point-virgule.
• Intervalle [a ; b] : Notations des valeurs comprises entre $a$ et $b$ avec inclusion des bornes quand on utilise des crochets fermés.
• Valeur ponctuelle {a ; b} : Notation pour désigner des valeurs ponctuelles plutôt qu’un intervalle continu entre deux nombres.

📝 Points essentiels

• Le crochet ouvert (tourné vers l’extérieur) exclut la valeur et correspond aux inégalités strictes < ou >.
• Le crochet fermé (tourné vers l’intérieur) inclut la valeur et correspond aux inégalités larges $\le$ ou $\ge$.
• Dans l’intervalle, les crochets indiquent si la borne fait partie de l’ensemble solution.

💡 Astuce mémo

Ouvert vers l’extérieur = on ne prend pas la borne.

📊 Tableaux de synthèse

Strict vs large (borne incluse ou non)

Inégalité	Borne	Notation	Solution type
$<$ ou $>$	Exclue	Crochet ouvert	Bornes avec exclusions
$\le$ ou $\ge$	Incluse	Crochet fermé	Bornes avec inclusions

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre crochet ouvert et fermé fait inverser l’inclusion de la borne, donc change $<$ en $\le$ ou l’inverse.
2. Lire $f(x)<k$ comme “en dessous ou sur” la droite mène à prendre des crochets fermés au lieu de crochets ouverts.
3. Prendre les abscisses d’intersection comme limites interdites pour une inégalité large, alors qu’elles doivent être incluses.
4. Mélanger les notations : croire que $(a;b)$ est un intervalle au lieu de coordonnées d’un point.
5. Oublier le rôle du sens du crochet : tournée vers l’extérieur = exclusion, tournée vers l’intérieur = inclusion.
6. Écrire une solution sans union $\cup$ alors que l’ensemble solution est donné comme deux intervalles séparés.

✅ Checklist Examen

1. Savoir expliquer à quoi correspondent $f(x)<k$ et $f(x)\le k$ en termes de position de $C_f$ par rapport à la droite $y=k$.
2. Savoir déterminer la forme de $S$ avec $]-\infty;x_1[$ et $]x_2;+\infty[$ pour $f(x)<k$.
3. Savoir déterminer la forme de $S$ avec $]-\infty;x_1]$ et $[x_2;+\infty[$ pour $f(x)\le k$.
4. Savoir choisir crochet ouvert ou fermé selon que l’inégalité est stricte ou large ($<$ vs $\le$, $>$ vs $\ge$).
5. Savoir résoudre $f(x)<g(x)$ en lisant les abscisses où la courbe de $f$ est strictement en dessous de celle de $g$.
6. Savoir traduire correctement une solution sous forme d’union d’intervalles $\cup$ quand deux morceaux existent.
7. Savoir distinguer la notation de coordonnées $(a;b)$ de la notation d’intervalle $[a;b]$.
8. Savoir interpréter $\{a;b\}$ comme des valeurs ponctuelles plutôt qu’un ensemble continu entre $a$ et $b$.
9. Savoir utiliser le sens des crochets pour décider l’inclusion ou non des bornes dans $S$.