Quiz: Maîtrise des limites en analyse — 14 Fragen

1. Que signifie la notation \lim_{x\to a,\, x>a} f(x) ?

A. La limite de f(x) quand x devient arbitrairement grand

B. La limite de f(x) quand x se rapproche de a par la droite

C. La limite de f(x) quand x prend exactement la valeur a

D. La limite de f(x) quand x se rapproche de a par la gauche

Answer: (B)

Erklärung

L’écriture \(x>a\) indique une approche par des valeurs strictement supérieures à a, donc par la droite. La limite est prise vers a sans que x ne soit égal à a.

2. Dans quelle situation étudie-t-on la limite \(\lim_{x\to -\infty} f(x)\) ?

A. Quand x se rapproche d’un réel a sans l’atteindre

B. Quand x reste constant

C. Quand x devient arbitrairement grand en valeur positive

D. Quand x devient arbitrairement petit

Answer: (D)

Erklärung

La notation \(x\to -\infty\) signifie que la variable décroît sans borne, vers des valeurs de plus en plus petites. Ce n’est ni une limite en un réel ni une limite vers +∞.

3. Que vaut la limite de \(e^x\) lorsque \(x\to +\infty\) ?

A. 0

B. +∞

C. −∞

D. Une valeur réelle constante

Answer: (B)

Erklärung

La fonction exponentielle diverge vers +∞ quand x tend vers +∞. C’est une des limites usuelles à connaître.

4. Si \(f(x)\) devient arbitrairement négative lorsque \(x\to +\infty\), quelle écriture est correcte ?

A. \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=-\infty\)

B. \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty\)

C. \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\)

D. \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\)

Answer: (D)

Erklärung

Une limite infinie vers −∞ signifie que les valeurs de f(x) décroissent sans borne quand x→+∞. L’écriture correcte est donc \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty\).

5. Si \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\) avec L réel, quelle conclusion est correcte ?

A. La droite \(y=L\) est une asymptote horizontale

B. La droite \(x=L\) est une asymptote verticale

C. La limite doit être infinie pour qu’il y ait une asymptote

D. La fonction n’a pas de comportement asymptotique

Answer: (A)

Erklärung

Une limite finie à l’infini entraîne une asymptote horizontale d’équation \(y=L\). La droite \(x=L\) correspondrait à une asymptote verticale, ce qui est un autre cas.

6. Quelle droite est une asymptote horizontale si \(\lim_{x\to -\infty} f(x)=3\) ?

A. \(x=-\infty\)

B. \(x=3\)

C. \(y=-3\)

D. \(y=3\)

Answer: (D)

Erklärung

Quand la limite à l’infini vaut un réel 3, l’asymptote horizontale est la droite \(y=3\). Le sens de la limite, +∞ ou −∞, ne change pas la forme de cette droite.

7. Que signifie le fait que \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ?

A. f(x) a une limite horizontale en y=a

B. f(x) diverge vers +∞ quand x se rapproche de a sans l’atteindre

C. f(x) est forcément définie en x=a

D. f(x) se rapproche d’une valeur réelle quand x tend vers a

Answer: (B)

Erklärung

Une limite infinie en a signifie que f(x) devient arbitrairement grande au voisinage de a, sans que x prenne forcément la valeur a. Cela peut conduire à une asymptote verticale.

8. Quelle situation permet d’affirmer que la droite \(x=a\) est une asymptote verticale ?

A. Quand \(\lim_{x\to a} f(x)=L\) avec L réel

B. Quand f est constante sur un intervalle

C. Quand \(\lim_{x\to +\infty} f(x)=L\)

D. Quand \(\lim_{x\to a} f(x)=+\infty\) ou \(-\infty\)

Answer: (D)

Erklärung

Une asymptote verticale apparaît lorsque la fonction diverge vers +∞ ou −∞ au voisinage de a, à gauche ou à droite. Une limite réelle en a ne suffit pas.

9. Quelle est la limite de \(x^n\) quand \(x\to -\infty\) si n est pair ?

A. 0

B. −∞

C. Elle dépend du signe de x

D. +∞

Answer: (D)

Erklärung

Pour une puissance de degré pair, \(x^n\) reste positive et tend vers +∞ quand x→−∞. Si n était impair, la limite serait différente.

10. Quelle est la limite de \(\frac{1}{x}\) quand \(x\to 0\) avec \(x>0\) ?

A. 0

B. 1

C. −∞

D. +∞

Answer: (D)

Erklärung

Quand x s’approche de 0 par valeurs positives, \(1/x\) devient arbitrairement grand et positif. Par valeurs négatives, on obtiendrait au contraire −∞.

11. Quelle règle permet de déterminer la limite à l’infini d’un polynôme en repérant le terme de plus haut degré ?

A. On remplace systématiquement x par la limite cherchée

B. On étudie le terme dominant en puissance la plus élevée

C. On compare uniquement les coefficients constants

D. On factorise par le plus petit degré du polynôme

Answer: (B)

Erklärung

Pour un polynôme, la limite à l’infini se déduit de la puissance dominante, c’est-à-dire du terme de plus haut degré. Les autres termes deviennent négligeables devant lui quand x tend vers l’infini.

12. Comment détermine-t-on la limite à l’infini d’une fraction rationnelle ?

A. En remplaçant le quotient par la somme des limites des termes

B. En comparant les degrés du numérateur et du dénominateur

C. En dérivant le numérateur puis le dénominateur

D. En étudiant seulement le signe du dénominateur

Answer: (B)

Erklärung

Pour une fonction rationnelle, on analyse la limite en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur. C’est cette comparaison qui permet de savoir si la fonction tend vers une constante, 0 ou l’infini.

13. Si une fonction u(x) admet une limite b et si v(X) admet une limite L quand X tend vers b, que peut-on conclure pour v(u(x)) ?

A. Sa limite est toujours 0

B. Sa limite est L

C. Sa limite n’existe pas nécessairement

D. Sa limite est forcément b

Answer: (B)

Erklärung

La propriété de composition des limites dit que si u(x) tend vers b et si v(X) tend vers L quand X tend vers b, alors v(u(x)) tend vers L. La limite de la fonction composée se déduit donc des deux limites séparées.

14. Quel énoncé correspond au théorème des gendarmes ?

A. Si f(x)≤g(x), alors g a la même limite que f

B. Si f(x)≤g(x)≤h(x) et que f et h tendent vers la même limite réelle, alors g tend vers cette limite

C. Si f et h divergent vers l’infini, alors g reste toujours bornée

D. Si f(x) et h(x) ont des limites différentes, alors g a une limite intermédiaire

Answer: (B)

Erklärung

Le théorème des gendarmes s’applique quand une fonction est encadrée par deux autres qui convergent vers la même limite réelle. Dans ce cas, la fonction encadrée converge vers cette même limite.