Lernzettel: Maîtrise des limites en analyse

📋 Plan du Cours

1. Limites aux bornes du domaine
2. Limite infinie à l'infini
3. Limite finie et asymptote horizontale
4. Limite infinie en un réel
5. Limites des fonctions usuelles
6. Opérations sur les limites
7. Composition et comparaison de limites

📖 1. Limites aux bornes du domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en +∞ : On étudie le comportement de f(x) quand x devient arbitrairement grand, en écrivant lim 𝑥→+∞ f(𝑥).
• Limite en −∞ : On étudie le comportement de f(x) quand x devient arbitrairement petit, en écrivant lim 𝑥→−∞ f(𝑥).
• Limite en un réel a : On étudie le comportement de f(x) quand x se rapproche de a (sans que x soit égal à a), en écrivant lim 𝑥→𝑎 f(𝑥).
• Approche par la droite de a : Quand x tend vers a avec x>a, on note une limite unilatérale de type lim 𝑥→𝑎, 𝑥>𝑎 f(𝑥).
• Approche par la gauche de a : Quand x tend vers a avec x<a, on note une limite unilatérale de type lim 𝑥→𝑎, 𝑥<𝑎 f(𝑥).

📝 Points essentiels

• Pour les fonctions, x peut tendre vers +∞, −∞ ou vers un réel a, ce qui étend le travail fait sur les suites.
• On peut approcher a par la droite (x>a) ou par la gauche (x<a) via des notations unilatérales distinctes.

💡 Astuce mémo

Droite = x>a ; gauche = x<a.

📖 2. Limite infinie à l'infini

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie vers +∞ : Une limite est dite infinie vers +∞ quand f(x) devient arbitrairement grande lorsque x→+∞, donc lim 𝑥→+∞ f(𝑥)=+∞.
• Limite infinie vers −∞ : Une limite est dite infinie vers −∞ quand f(x) devient arbitrairement négative lorsque x→+∞, donc lim 𝑥→+∞ f(𝑥)=−∞.
• Limite infinie quand x→−∞ : On définit aussi des limites infinies en remplaçant x→+∞ par x→−∞, selon que f(x) diverge vers +∞ ou −∞.

📝 Points essentiels

• L’étude « à l’infini » se fait en considérant le voisinage de +∞ ou de −∞ pour la variable x.
• On distingue quatre cas possibles : x→+∞ avec limite ±∞ et x→−∞ avec limite ±∞.

💡 Astuce mémo

À l’infini, tu regardes juste le signe de la divergence : +∞ ou −∞.

📖 3. Limite finie et asymptote horizontale

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie à l'infini : Une limite est finie à l’infini quand f(x) tend vers une valeur réelle quand x→+∞ ou quand x→−∞.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite y=L vers laquelle f(x) se rapproche quand x→+∞ (ou quand x→−∞).

📝 Points essentiels

• Si lim 𝑥→+∞ f(𝑥)=L (L réel), alors la droite y=L est une asymptote horizontale.
• Si lim 𝑥→−∞ f(𝑥)=L (L réel), alors la droite y=L est une asymptote horizontale.

💡 Astuce mémo

Asymptote horizontale = limite finie à l’infini (même L).

📖 4. Limite infinie en un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie en a : Une limite est infinie en a quand f(x) diverge vers +∞ ou −∞ lorsque x se rapproche de a sans l’atteindre, donc lim 𝑥→𝑎 f(𝑥)=±∞.
• Notations par valeurs inférieures à a : Quand x→a avec x<a, on note une limite unilatérale correspondant à l’approche par valeurs inférieures à a (x tend vers a « par la gauche »).
• Notations par valeurs supérieures à a : Quand x→a avec x>a, on note une limite unilatérale correspondant à l’approche par valeurs supérieures à a (x tend vers a « par la droite »).
• Asymptote verticale : Une asymptote verticale est une droite d’équation x=a lorsque la limite de f(x) diverge (à droite ou à gauche) quand x tend vers a.

📝 Points essentiels

• Pour définir une limite en a, on suppose que f est définie sur un intervalle dont une borne est ouverte en a (du type ]a;… ou …;a[).
• Si x→a (par la gauche ou par la droite) et lim f(x)=+∞ ou −∞, alors la droite x=a est une asymptote verticale.
• Les limites unilatérales en a se distinguent selon l’inégalité x<a ou x>a.

💡 Astuce mémo

Asymptote verticale = x=a et « ça part en ±∞ » quand x s’approche de a.

📖 5. Limites des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance et signe de n : Pour n∈ℕ*, lim 𝑥→+∞ x^n et lim 𝑥→−∞ x^n dépendent de la parité de n.
• Fonction exponentielle : Les limites de e^x à ±∞ sont fixées : à +∞ elle diverge vers +∞ et à −∞ elle tend vers 0.
• Fonction constante : Une fonction constante k garde la même limite quand x→+∞ ou x→−∞ : la limite vaut k.

📝 Points essentiels

• Pour n∈ℕ* : lim 𝑥→+∞ x^n=+∞ et lim 𝑥→−∞ x^n=+∞ si n est pair, puis −∞ si n est impair.
• On a lim 𝑥→+∞ e^x=+∞ et lim 𝑥→−∞ e^x=0.
• On a lim 𝑥→+∞ 1/ x=0 et lim 𝑥→−∞ 1/ x=0.
• On a lim 𝑥→0 x>0 1/x=+∞ et lim 𝑥→0 x<0 1/x=−∞.
• On a lim 𝑥→+∞ 1/x^n=0 (et aussi lim 𝑥→−∞ 1/x^n=0) et lim 𝑥→+∞ 1/√x=0.
• Pour tout réel k : lim 𝑥→+∞ k=k et lim 𝑥→−∞ k=k.

💡 Astuce mémo

Puissance : signe à −∞ dépend de la parité ; exponentielle : e^x bat toute puissance à +∞.

📖 6. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Règles de calcul sur les limites : On utilise les mêmes techniques de calcul que pour les limites de suites afin de combiner des limites de fonctions.
• Limite d’un polynôme : Quand une fonction est un polynôme, sa limite à l’infini se déduit à partir de sa forme en puissance dominante.
• Limite de fractions rationnelles : Pour une fonction rationnelle, on étudie la limite en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur.

📝 Points essentiels

• On détermine les limites en +∞ ou −∞ en appliquant aux fonctions les règles de calcul habituelles des limites.
• Exemple type de polynôme : f(x)=x^2+x−5 admet des limites en +∞ et en −∞ que l’on peut déterminer par calcul de termes dominants.
• Exemple type de quotient : f(x)=(x^2+3)(1/x−4) admet une limite en +∞ que l’on obtient en simplifiant les comportements à +∞.
• Pour f(x)=x−√x sur [0,+∞[, la limite en +∞ se calcule directement à partir des deux termes x et √x.
• Pour f(x)=(x^2+4x+4)/(x−2) sur ]2,+∞] on étudie les limites aux bornes 2 et +∞ de l’ensemble de définition.
• Pour f(x)= (2x+1)/(x+3) sur ℝ{−3}, les limites aux bornes de son ensemble de définition se font en étudiant x→−3 et le comportement à l’infini.

💡 Astuce mémo

Même réflexe qu’avec les suites : repère ce qui domine quand x va vers la borne.

📖 7. Composition et comparaison de limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition de fonctions : La composition f(v(u(x))) décrit le résultat obtenu en appliquant d’abord u, puis v.
• Limite par composition : Si u(x) a une limite et si v(X) a une limite quand X tend vers la limite de u, alors on peut déduire la limite de v(u(x)).
• Théorème des gendarmes : Si f(x) et h(x) encadrent g(x) et convergent toutes deux vers la même limite ℓ, alors g(x) converge vers ℓ.
• Croissances comparées exponentielle et puissance : Les limites établissent que e^x croît plus vite que x^n à +∞ et que x^n e^x tend vers 0 quand x→−∞.

📝 Points essentiels

• Propriété (admise) : si lim 𝑥→𝑎 u(𝑥)=b et lim 𝑋→b v(𝑋)=L, alors lim 𝑥→𝑎 v(u(𝑥))=L.
• Théorème de comparaison (admis) : si f(x)≤g(x) sur un intervalle du type ]A; +∞[ et lim f(x)=+∞, alors lim g(x)=+∞.
• Théorème de comparaison (admis) : si f(x)≤g(x) et lim g(x)=−∞, alors lim f(x)=−∞.
• Théorème des gendarmes (admis) : si f(x)≤g(x)≤h(x) et lim f(x)=ℓ et lim h(x)=ℓ avec ℓ réel, alors lim g(x)=ℓ.
• Croissances comparées (admis) : pour n∈ℕ, lim 𝑥→+∞ e^x/ x^n=+∞ et lim 𝑥→−∞ x^n e^x=0.
• En particulier : lim 𝑥→+∞ e^x/ x=+∞ et lim 𝑥→−∞ x e^x=0.

💡 Astuce mémo

Gendarmes : même ℓ aux deux bornes ⇒ g(x) va vers ℓ ; Comparaison : ordre f≤g transmet la divergence.

📊 Tableaux de synthèse

Ordres de grandeur : exponentielle vs puissance

Situation	Terme	Limite
+∞	e^x / x^n	+∞
−∞	x^n e^x	0

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’approche par la droite (x>a) et par la gauche (x<a) dans les notations de limite unilatérale.
2. Oublier que les limites infinies en un réel donnent ±∞ et entraînent une asymptote verticale x=a.
3. Prendre une limite à l’infini comme une limite en un réel : +∞, −∞ et a demandent des notations différentes.
4. Dire que lim e^x quand x→−∞ vaut +∞ : la source l’affirme comme 0.
5. Mélanger les thèorèmes : comparaison ne remplace pas les gendarmes lorsque g(x) est seulement encadrée mais pas par des limites égales.
6. Confondre lim 1/x quand x→0 selon le signe : 0+ donne +∞ et 0− donne −∞.
7. Se tromper sur le signe de lim x^n quand x→−∞ : tout dépend si n est pair ou impair.

✅ Checklist Examen

1. Savoir distinguer lim 𝑥→+∞, lim 𝑥→−∞ et lim 𝑥→𝑎, ainsi que l’approche par la droite (x>a) ou par la gauche (x<a).
2. Décrire une limite infinie vers +∞ ou −∞ et relier ces divergences au comportement quand x tend vers +∞ ou −∞.
3. Donner la condition d’existence d’une asymptote horizontale y=L via une limite finie à l’infini.
4. Identifier une asymptote verticale x=a quand la limite de f(x) diverge (à droite ou à gauche) quand x→a.
5. Savoir par cœur les limites usuelles : x^n à ±∞ selon la parité, e^x à ±∞, 1/x à ±∞, et 1/x près de 0 selon x>0 ou x<0.
6. Savoir les limites usuelles de 1/x^n et 1/√x quand x→+∞.
7. Appliquer les règles de calcul sur les limites de fonctions (mêmes règles qu’avec les suites) pour déterminer des limites de polynômes et de quotients.
8. Utiliser correctement la propriété « limite par composition » pour calculer lim v(u(x)) à partir des deux limites séparées.
9. Employer le théorème de comparaison : si f≤g et lim f=+∞ alors lim g=+∞, et si lim g=−∞ alors lim f=−∞.
10. Employer le théorème des gendarmes quand f≤g≤h et que lim f=ℓ et lim h=ℓ avec ℓ réel.
11. Utiliser les croissances comparées : e^x/ x^n→+∞ quand x→+∞ et x^n e^x→0 quand x→−∞.
12. Décliner les cas particuliers : lim 𝑥→+∞ e^x/x=+∞ et lim 𝑥→−∞ x e^x=0.