Lernzettel: Maîtrise des opérations et comparaisons de fractions

📋 Plan du Cours

1. Addition et soustraction, même dénominateur
2. Addition et soustraction, dénominateurs différents
3. Comparer des fractions, même dénominateur
4. Comparer des fractions, même numérateur
5. Comparer des fractions de dénominateurs différents

📖 1. Addition et soustraction, même dénominateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Fractions de même dénominateur : Deux fractions ont le même dénominateur quand leurs dénominateurs sont identiques.
• Règle somme de numérateurs : Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne les numérateurs et on garde ce dénominateur commun.
• Règle différence de numérateurs : Pour soustraire des fractions de même dénominateur, on soustrait les numérateurs et on garde ce dénominateur commun.

📝 Points essentiels

• Si $a/k$ et $b/k$ ont le même dénominateur $k\neq 0$, alors $a/k+b/k=(a+b)/k$.
• Si $a/k$ et $b/k$ ont le même dénominateur $k\neq 0$, alors $a/k-b/k=(a-b)/k$.
• Exemple : $4/5+7/5=(4+7)/5=11/5$.
• Exemple : $19/6-4/6=(19-4)/6=15/6=5/2$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur = même “part” : tu additionnes ou soustrais uniquement les numérateurs.

📖 2. Addition et soustraction, dénominateurs différents

🔑 Notions clés & Définitions

• Mise au même dénominateur : Mettre au même dénominateur consiste à transformer des fractions pour qu’elles aient un dénominateur commun.
• Dénominateurs différents : Des fractions ont des dénominateurs différents quand leurs dénominateurs ne sont pas identiques.

📝 Points essentiels

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on les transforme avec un dénominateur commun puis on applique la règle des numérateurs.
• Exemple : $5/12-1/3=5/12-4/12=1/12$.
• Exemple : $9/10+3/5=9/10+15/10=24/10=12/5$.
• Exemple : $8/3+5/3=13/3$.

💡 Astuce mémo

Dénominateurs différents : d’abord tu “unifies” (même dénominateur), puis tu calcules comme si c’était identique.

📖 3. Comparer des fractions, même dénominateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison de fractions à même dénominateur : Comparer deux fractions à même dénominateur consiste à regarder lequel a le plus grand numérateur.
• Plus grand numérateur : Quand le dénominateur est identique, la fraction la plus grande est celle dont le numérateur est le plus grand.

📝 Points essentiels

• Si deux fractions ont le même dénominateur, alors celle qui a le plus grand numérateur est la plus grande.
• Exemple : $2/7<6/7$.
• Exemple : $11/5>9/5$.
• Exemple : $17/13>8/13$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur = même “taille de parts” : compare les numérateurs.

📖 4. Comparer des fractions, même numérateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Comparaison de fractions à même numérateur : Comparer deux fractions à même numérateur consiste à regarder lequel a le plus petit dénominateur.
• Plus petit dénominateur : Quand le numérateur est identique, la fraction la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit.

📝 Points essentiels

• Si deux fractions ont le même numérateur, alors celle qui a le plus petit dénominateur est la plus grande.
• Exemple : $13/5>13/8$.
• Exemple : $6/11<6/5$.
• Exemple : $34/9>34/51$.

💡 Astuce mémo

Même numérateur = mêmes unités : plus le dénominateur est grand, plus la fraction devient petite.

📖 5. Comparer des fractions de dénominateurs différents

🔑 Notions clés & Définitions

• Mise au même dénominateur pour comparer : Pour comparer des fractions de dénominateurs différents, on peut les réécrire avec un dénominateur commun.
• Comparaison à un entier : Pour comparer une fraction à une autre, on peut la situer par rapport à 1 en utilisant des encadrements par entiers.
• Comparaison par division : Pour comparer des fractions, on peut calculer leurs valeurs décimales en effectuant une division.

📝 Points essentiels

• Méthode : mettre au même dénominateur pour comparer, puis comparer les numérateurs.
• Exemple : $5/7$ transformée en $15/21$ et $16/21$ donne $15/21<16/21$, donc $5/7<16/21$.
• Méthode : comparer à 1 en repérant si les fractions sont plus petites ou plus grandes que 1.
• Exemple : $23/17>1$ et $42/56<1$, donc $23/17>42/56$.
• Méthode : effectuer la division pour comparer des décimaux.
• Exemple : $471/100=4,71$ et $18/4=4,5$, donc $471/100>18/4$.

💡 Astuce mémo

Quand les dénominateurs changent : égaliser (même dénominateur) ou comparer à 1 ou passer en décimal.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier la condition $k\neq 0$ lors de l’application de $a/k\pm b/k=(a\pm b)/k$.
2. Ajouter ou soustraire les dénominateurs au lieu de garder le dénominateur commun quand il est le même.
3. Traiter des dénominateurs différents comme s’ils étaient identiques (sans mise au même dénominateur).
4. Se tromper dans le sens pour même numérateur : plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite.
5. Mélanger les méthodes de comparaison (numérateur vs dénominateur) quand les fractions ne partagent pas le même paramètre.
6. Comparer 2 fractions de façons incompatibles (ex. regarder les numérateurs alors que les dénominateurs sont différents).

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer $a/k+b/k$ et $a/k-b/k$ quand les fractions ont le même dénominateur.
2. Vérifier que le dénominateur commun $k$ est non nul avant d’utiliser la règle.
3. Savoir transformer des fractions à dénominateurs différents pour obtenir un même dénominateur avant de calculer.
4. Être capable de refaire les exemples : $5/12-1/3$, $9/10+3/5$ et $8/3+5/3$.
5. Comparer deux fractions ayant le même dénominateur en choisissant celle au plus grand numérateur.
6. Comparer deux fractions ayant le même numérateur en choisissant celle au plus petit dénominateur.
7. Comparer $5/7$ et $16/21$ en utilisant la mise au même dénominateur.
8. Comparer $23/17$ et $42/56$ en encadrant par rapport à $1$.
9. Comparer $471/100$ et $18/4$ en calculant leurs valeurs par division décimale.
10. Choisir une méthode de comparaison adaptée quand dénominateurs et numérateurs ne sont pas identiques.