Lernzettel: Maîtrise des opérations et intervalles en mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les inégalités
2. Signes des produits et quotients
3. Carrés et racines carrées
4. Inverse des nombres positifs
5. Intervalles réels

📖 1. Opérations sur les inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition d’inégalités : L’addition terme à terme conserve le sens de l’inégalité lorsque les deux inégalités sont dans le même sens.
• Multiplication d’inégalités positives : La multiplication membre à membre conserve le sens de l’inégalité si les deux inégalités ont le même sens et si tous les termes sont positifs.

📝 Points essentiels

• Si $a\le b$ et $c\le d$, alors $a+c\le b+d$ conserve le sens de l’inégalité.
• Si $a,b,c,d$ sont positifs, $a\le b$ et $c\le d$ impliquent $ac\le bd$, ce qui garde le sens grâce à la positivité des termes.

💡 Astuce mémo

Même sens + même sens ⇒ même sens : addition toujours, multiplication seulement si tout est positif.

📖 2. Signes des produits et quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’un produit : Le signe du produit dépend du signe des deux expressions : même signe donne un produit positif et signes contraires donnent un produit négatif.
• Signe d’un quotient : Le signe du quotient suit la même règle que le produit : même signe donne un quotient positif et signes contraires donnent un quotient négatif.

📝 Points essentiels

• Deux expressions de même signe ont un produit positif, tandis que deux expressions de signes contraires ont un produit négatif.
• Deux expressions de même signe ont un quotient positif, tandis que deux expressions de signes contraires ont un quotient négatif.

💡 Astuce mémo

Produit ou quotient : même signe ⇒ +, signes contraires ⇒ −.

📖 3. Carrés et racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre des carrés : Pour des nombres positifs, l’ordre est conservé lorsqu’on remplace chaque nombre par son carré.
• Ordre des racines carrées : Pour des nombres positifs, l’ordre est conservé lorsqu’on remplace chaque nombre par sa racine carrée.

📝 Points essentiels

• Si $a\ge 0$ et $b\ge 0$ et que $a\le b$, alors $a^2\le b^2$ conserve l’ordre.
• Si $a>1$, alors $a^2>a$, et si $0\le a<1$, alors $a^2<a$.

💡 Astuce mémo

Carré : positif + ordre préservé ; puis $a>1$ agrandit, $a<1$ rapetisse.

📖 4. Inverse des nombres positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Inversion et ordre contraire : Pour des nombres strictement positifs, prendre l’inverse inverse l’ordre des nombres.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$ et $b>0$ et que $a<b$, alors $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, donc l’ordre s’inverse.

💡 Astuce mémo

Avec les inverses : plus petit devient plus grand (pour $>0$).

📖 5. Intervalles réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Un intervalle fermé contient ses deux bornes car tous les $x$ vérifient $a\le x\le b$.
• Intervalle ouvert : Un intervalle ouvert ne contient aucune des bornes car tous les $x$ vérifient $a<x<b$.
• Intervalle semi-ouvert : Un intervalle semi-ouvert contient une borne mais pas l’autre car tous les $x$ vérifient $a\le x<b$ ou $a<x\le b$ selon le côté.

📝 Points essentiels

• Pour $a<b$, l’intervalle $[a;b]$ est l’ensemble des $x$ tels que $a\le x\le b$.
• Pour $a<b$, l’intervalle $]a;b[$ est l’ensemble des $x$ tels que $a<x<b$.
• Pour $a<b$, l’intervalle $[a;b[$ est l’ensemble des $x$ tels que $a\le x<b$.

💡 Astuce mémo

Crochets $[\ ]$ = borne incluse, parenthèses $]\ [$ = borne exclue, et $[a;b[$ donne “inclus à gauche, exclu à droite”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger les règles de signe : $(-)\times(-)$ donne $+$, et pas $-$.
2. Appliquer la conservation du sens lors d’une multiplication sans vérifier que tous les termes sont positifs.
3. Oublier que l’ordre des carrés et des racines carrées nécessite des nombres positifs.
4. Confondre l’inverse : pour $a<b$ avec $a,b>0$, on obtient $1/a>1/b$, donc le sens s’inverse.
5. Choisir le mauvais type d’intervalle en inversant la présence ou l’absence des bornes (crochet vs parenthèse).
6. Écrire un intervalle ouvert comme s’il était fermé (mettre $a\le x$ au lieu de $a<x$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir transformer $a\le b$ et $c\le d$ en $a+c\le b+d$.
2. Savoir transformer $a\le b$ et $c\le d$ en $ac\le bd$ lorsque tous les termes sont positifs.
3. Déterminer le signe d’un produit à partir des signes des deux facteurs.
4. Déterminer le signe d’un quotient à partir des signes du numérateur et du dénominateur.
5. Utiliser : pour $a\le b$ avec $a,b\ge 0$, conclure $a^2\le b^2$.
6. Utiliser : pour $a>1$, conclure $a^2>a$, et pour $0\le a<1$, conclure $a^2<a$.
7. Utiliser : pour $a\le b$ avec $a,b\ge 0$, conclure $\sqrt{a}\le\sqrt{b}$.
8. Utiliser : pour $a<b$ avec $a,b>0$, conclure $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.
9. Traduire $[a;b]$ en inégalités $a\le x\le b$.
10. Traduire $]a;b[$ en inégalités $a<x<b$.
11. Traduire $[a;b[$ en inégalités $a\le x<b$.