Lernzettel: Maîtrise des pourcentages et évolutions

📋 Plan du Cours

1. Définition des pourcentages
2. Calcul d’un pourcentage
3. Augmentations et diminutions en pourcentage
4. Taux d’évolution
5. Évolutions successives
6. Évolution réciproque

📖 1. Définition des pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion d’une quantité rapportée à 100.
• Fraction sur 100 : Une proportion peut s’exprimer comme une fraction dont le dénominateur vaut 100.
• Écriture décimale : Le même pourcentage peut aussi s’écrire sous forme décimale, par exemple 0,15 pour 15%.

📝 Points essentiels

• Un pourcentage s’écrit en % comme $\dfrac{x}{100}$, et aussi avec une fraction ou une écriture décimale équivalente.
• Si un nombre décimal positif vaut 0,15, alors il représente 15% dans l’écriture en pourcentage.

💡 Astuce mémo

Sur 100 : % = partie / 100.

📖 2. Calcul d’un pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie dans une quantité : Le pourcentage d’une partie correspond à sa valeur rapportée à la quantité de référence.
• Rapport a et b : Pour deux nombres $a<b$, la quantité $a$ est la partie et $b$ la référence.
• Égalité du pourcentage : Le pourcentage de $a$ par rapport à $b$ s’obtient en multipliant $a$ par 100 puis en le rapportant à $b$.

📝 Points essentiels

• Si $a<b$, alors $a$ représente $(a\times 100)$% de $b$ via le calcul du pourcentage de $b$ correspondant.
• Exemple : dans un lycée de 600 élèves, 75 filles correspondent à $75\times 25=1875$ et à une part de 12,5% dans l’exercice.

💡 Astuce mémo

Pourcentage = partie × 100 / référence.

📖 3. Augmentations et diminutions en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage d’évolution : Le pourcentage d’évolution est le pourcentage appliqué pour passer d’une valeur initiale à sa nouvelle valeur.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le facteur qui transforme la valeur initiale lors d’une hausse ou d’une baisse.
• CM et signe : Un coefficient multiplicateur supérieur à 1 traduit une augmentation et inférieur à 1 traduit une diminution.

📝 Points essentiels

• Augmenter de 1% revient à multiplier par $1+\dfrac{1}{100}$.
• Diminuer de 1% revient à multiplier par $1-\dfrac{1}{100}$.
• Si le coefficient multiplicateur vaut $CM=1+\dfrac{t}{100}$, alors on observe une augmentation si $CM>1$ et une diminution si $CM<1$.
• Exemple : une voiture à 15 000€ perd 30%, donc $CM=1-\dfrac{30}{100}=0,7$ et la nouvelle valeur vaut 10 500€.
• Exemple : si un bénéfice passe de 100 000€ à $+15\%$, alors $CM=1+\dfrac{15}{100}=1,15$ et le bénéfice devient 115 000€.

💡 Astuce mémo

Hausse : $1+t/100$ ; baisse : $1-t/100$.

📖 4. Taux d’évolution

🔑 Notions clés & Définitions

• Variation absolue : La variation absolue mesure la différence directe entre une valeur finale $Q_1$ et une valeur initiale $Q_0$.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution (variation relative) compare l’écart entre $Q_1$ et $Q_0$ à la valeur de départ $Q_0$.
• Lien CM et taux : Le taux d’évolution est lié au coefficient multiplicateur via la relation entre $CM$, $T$ et le pourcentage d’évolution.

📝 Points essentiels

• La variation absolue s’écrit $VA=Q_1-Q_0$.
• Le taux d’évolution entre $Q_0$ et $Q_1$ s’écrit $T=\dfrac{Q_1-Q_0}{Q_0}$.
• Avec un coefficient multiplicateur $CM$, on a un pourcentage d’évolution égal à $CM-1$ quand on lit directement le CM.
• Si $CM=1,04$, alors $T=0,04$ et le pourcentage d’évolution vaut 4%.
• Si $CM=0,59$, alors $T=0,59-1=-0,41$ et le taux correspond à -41%.

💡 Astuce mémo

T = (différence relative) = $\dfrac{Q_1-Q_0}{Q_0}$, et aussi $T=CM-1$.

📖 5. Évolutions successives

🔑 Notions clés & Définitions

• Évolutions successives : Les évolutions successives modélisent plusieurs variations appliquées l’une après l’autre entre trois valeurs $Q_0$, $Q_1$ et $Q_2$.
• Multiplication des coefficients : Lors de deux évolutions, le coefficient multiplicateur total est obtenu en multipliant les deux coefficients.
• Taux global sur deux étapes : Si le taux global relie $Q_0$ à $Q_2$, il correspond à l’unique coefficient multiplicateur total.

📝 Points essentiels

• Si $T_1$ est le taux entre $Q_0$ et $Q_1$ et $T_2$ celui entre $Q_1$ et $Q_2$, alors le coefficient multiplicateur total vaut $(1+T_1)(1+T_2)$.
• Si $T$ est le taux entre $Q_0$ et $Q_2$, alors le coefficient multiplicateur total vaut $1+T$.
• Exemple : 250€ subit +25% puis -20%, donc $CM=(1+0,25)(1-0,20)=1$ et le taux global vaut $T=CM-1=0$.

💡 Astuce mémo

Deux étapes : on multiplie les $(1+T)$.

📖 6. Évolution réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux réciproque : Le taux d’évolution réciproque est le taux qu’il faut appliquer pour revenir à la valeur de départ après une évolution.
• Taux et réciproque : La réciproque relie un taux $T$ à un taux $T'$ par une formule qui dépend de $1+T$.

📝 Points essentiels

• Si $T$ est le taux entre $Q_0$ et $Q_1$, alors le taux réciproque vérifie $T'=-\dfrac{T}{1+T}$.
• On a l’identité $1+T=\dfrac{1}{1+T'}$.
• Pour une hausse de 28% ($T=0,28$), le taux réciproque vaut $T'=-\dfrac{0,28}{1,28}=-0,21875$, soit une réduction de 21,875%.

💡 Astuce mémo

Réciproque : on inverse $1+T$ puis on repart sur le taux.

📊 Tableaux de synthèse

CM et pourcentage d’évolution

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le taux d’évolution $T$ et le coefficient multiplicateur $CM$, alors que $CM=1+T$.
2. Croitre qu’une baisse de 30% signifie multiplier par $0,30$ au lieu de multiplier par $1-\dfrac{30}{100}=0,7$.
3. Oublier que l’évolution de deux étapes se combine par multiplication des $(1+T)$ et pas par addition des taux.
4. Lire $CM-1$ comme une différence absolue au lieu d’en faire un taux/une variation relative exprimée en pourcentage.
5. Utiliser la réciproque comme simple opposé ($T'=-T$) alors que la formule impose la division par $1+T$.
6. Se tromper d’interprétation avec les signes : $CM>1$ implique une augmentation, $CM<1$ implique une diminution.

✅ Checklist Examen

1. Donner la définition d’un pourcentage comme proportion sur 100.
2. Transformer un même pourcentage entre écriture en % et écriture décimale.
3. Calculer la part en pourcentage de $a$ dans une référence $b$ à partir de la relation donnée.
4. Écrire le coefficient multiplicateur pour une augmentation de $t\%$ sous la forme $1+\dfrac{t}{100}$.
5. Écrire le coefficient multiplicateur pour une diminution de $t\%$ sous la forme $1-\dfrac{t}{100}$.
6. Calculer une nouvelle valeur en multipliant par le coefficient multiplicateur $CM$.
7. Déterminer la variation absolue $VA$ à partir de $Q_1-Q_0$.
8. Calculer le taux d’évolution $T=\dfrac{Q_1-Q_0}{Q_0}$ à partir de $Q_0$ et $Q_1$.
9. Relier $CM$ et le pourcentage d’évolution via $CM-1$.
10. Combiner deux évolutions successives en utilisant le produit $(1+T_1)(1+T_2)$.
11. Passer du coefficient multiplicateur total au taux global avec $T=CM-1$.
12. Calculer l’évolution réciproque avec $T'=-\dfrac{T}{1+T}$ et vérifier l’identité $1+T=\dfrac{1}{1+T'}$.