Lernzettel: Maîtrise des ratios et proportionnalité

📋 Plan du Cours

1. Partage selon un ratio
2. Tableaux de proportionnalité
3. Quatrième proportionnelle
4. Pourcentages
5. Échelles
6. Reconnaître la proportionnalité

📖 1. Partage selon un ratio

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio a : b : Le ratio a : b signifie que deux quantités vérifient a/b = a÷b (avec des nombres correspondants au ratio).
• Quotient de comparaison : Pour vérifier un ratio, on calcule le quotient des deux grandeurs et on le compare au quotient du ratio attendu.

📝 Points essentiels

• Pour 2 : 3, on doit avoir a/b = 2/3.
• Dans l’exemple 4 filles et 6 garçons, 4/6 = 2/3 mais 6/4 = 3/2, donc seul le calcul dans le bon ordre valide le ratio 2 : 3.

💡 Astuce mémo

Ratio se teste par quotient : même fractions, mêmes résultats.

📖 2. Tableaux de proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de proportionnalité : Un tableau de proportionnalité relie deux grandeurs telles que le quotient des valeurs correspondantes reste constant.
• Coefficient de proportionnalité : Le coefficient est le nombre par lequel on passe d’une valeur de la première ligne à la valeur correspondante de la seconde.

📝 Points essentiels

• Pour prouver qu’un tableau est de proportionnalité, on vérifie que tous les quotients a/b (ou les rapports en sens inverse) sont égaux.
• Exemple non valable : 59/9,6, 69,75/12,6 et 95/16,6 donnent des quotients différents, donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
• Exemple valable : 35/5 = 70/10 = 56/8 = 7, donc c’est un tableau de proportionnalité avec coefficient 7.

💡 Astuce mémo

Tableau OK si tous les quotients tombent sur le même nombre.

📖 3. Quatrième proportionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Quatrième proportionnelle : La quatrième proportionnelle est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité à 4 cases quand trois valeurs sont connues.
• Tableau à 4 cases : Un tableau à 4 cases est une structure de deux grandeurs où la proportionnalité permet de déduire la case restante.

📝 Points essentiels

• Propriété : avec 3 valeurs d’un tableau de proportionnalité à 4 cases, on peut calculer la quatrième proportionnelle.
• Méthode par coefficient : on identifie le coefficient de proportionnalité puis on multiplie pour retrouver la valeur manquante.
• Dans l’exemple, 11/2 = 5,5 puis 5,5 x 5,5 = 30,25 et 5 : 5,5 = 0,90 pour compléter les valeurs.

💡 Astuce mémo

Quatrième valeur = même “coefficient” que les trois autres cases.

📖 4. Pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• p % d’une quantité : Calculer p % d’une quantité revient à multiplier la quantité par p/100.
• Pourcentage via proportion de dénominateur 100 : On transforme une situation “sur N” en fraction équivalente dont le dénominateur vaut 100 pour obtenir le pourcentage.

📝 Points essentiels

• Formule : p % d’une quantité = (p/100) x quantité.
• Exemple : 12 % de 20 cl donne 12/100 x 20 = 2,4 cl de matière grasse.
• Exemple : 4 personnes sur 5 trient leurs déchets, on obtient 9/5 = 80/100 donc 80 %.

💡 Astuce mémo

Toujours ramener en /100 pour lire le pourcentage.

📖 5. Échelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan à l’échelle : Un plan est à l’échelle quand les distances sur le plan sont proportionnelles aux distances réelles.
• Échelle du plan : L’échelle est le coefficient exprimé par le rapport distance sur le plan / distance réelle, avec la même unité.

📝 Points essentiels

• Le coefficient d’échelle correspond au rapport distance sur le plan sur distance réelle, et il utilise la distance dans la réalité exprimée avec la même unité.
• Exemple : 5 cm sur la carte pour 75 km réels donne une échelle notée 1/1 500 000.
• Avec l’échelle 1/1 500 000, 3,2 cm sur la carte représentent 48 km en réalité.

💡 Astuce mémo

Échelle = 1 / (combien de fois la réalité) : on “multiplie” par ce facteur pour passer au réel.

📖 6. Reconnaître la proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeurs proportionnelles : Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant celles de l’autre par un même nombre.
• Tableau de proportionnalité (reconnaissance) : Dans un tableau, si chaque valeur de la première grandeur est proportionnelle à la seconde avec le même facteur, alors c’est un tableau de proportionnalité.

📝 Points essentiels

• Le même nombre multiplicateur est le coefficient de proportionnalité.
• Exemple d’identification : si les valeurs passent de 9,6 à 6,9 puis 12,9 à 7,5 puis 16,6 à 9,5 avec le même facteur (ici 7), alors le tableau est proportionnel.
• La reconnaissance d’un tableau repose sur l’égalité des coefficients obtenus (par multiplication ou par quotient).

💡 Astuce mémo

Même “coefficient” partout : sinon ce n’est pas proportionnel.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le sens du ratio : 4/6 correspond à 2/3 alors que 6/4 correspond à 3/2, donc l’ordre compte.
2. Croire qu’il suffit de deux lignes sans vérifier que les quotients/coefficients sont constants dans toutes les colonnes.
3. Mélanger tableau de proportionnalité et simple calcul au hasard : si un seul quotient diffère, le tableau n’est pas proportionnel.
4. Oublier que p % correspond à p/100 : confondre avec p ou avec p/10 donne un résultat faux.
5. En échelles, oublier d’exprimer les distances avec la même unité (exemple : cm puis conversion vers km dans la réalité via le calcul).
6. Rater la notion “même nombre” : deux grandeurs ne sont proportionnelles que si le multiplicateur est identique pour toutes les paires de valeurs.

✅ Checklist Examen

1. Calculer si deux nombres sont dans un ratio en vérifiant l’égalité a/b = a_ratio/b_ratio.
2. Décider si une situation correspond à un ratio en testant le quotient dans le bon sens.
3. Identifier si un tableau est de proportionnalité en vérifiant l’égalité des quotients (ou des coefficients) sur toutes les colonnes.
4. Donner le coefficient de proportionnalité à partir d’un exemple (quotient constant).
5. Utiliser un coefficient pour compléter une quatrième proportionnelle dans un tableau à 4 cases.
6. Calculer une quatrième proportionnelle avec une démarche cohérente : coefficient puis produit ou quotient inverse.
7. Transformer p % d’une quantité en calcul numérique via p/100.
8. Calculer p % à partir d’une proportion “sur N” en ramenant l’écriture à une fraction de dénominateur 100.
9. Reconnaître et appliquer l’idée d’échelle : distances sur plan proportionnelles aux distances réelles.
10. Calculer une échelle du type 1 / … à partir de deux mesures (carte et réalité).
11. Convertir ensuite une distance sur la carte vers la distance réelle en utilisant l’échelle.
12. Reconnaître des grandeurs proportionnelles en trouvant si un même multiplicateur suffit pour passer d’une grandeur à l’autre.