Lernzettel: Maîtrise des suites arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et raison
2. Formules du terme général
3. Sens de variation
4. Somme des termes
5. Méthode de calcul et astuces

📖 1. Définition et raison

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où chaque terme s’obtient en ajoutant la même valeur à l’étape suivante.
• Raison r : Valeur ajoutée d’un terme au suivant dans une suite arithmétique, constante pour tous les rangs.
• Terme u(n) : Terme de rang n, noté u(n), représentant la valeur de la suite à l’étape n.

📝 Points essentiels

• La relation caractéristique d’une suite arithmétique est $u(n+1)=u(n)+r$ avec une raison r constante.
• La différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut $u(n+1)-u(n)=r$.
• Si $r>0$, la suite est croissante et augmente à chaque passage; les exemples 2, 5, 8, 11, 14 correspondent à $r=3$.
• Si $r<0$, la suite est décroissante et diminue à chaque passage; les exemples 20, 17, 14, 11 correspondent à $r=-3$.
• Si $r=0$, la suite est constante et ne change pas; les exemples 5, 5, 5, 5, 5 correspondent à $r=0$.

💡 Astuce mémo

Raison = différence fixe : $u(n+1)-u(n)$ reste toujours la même.

📖 2. Formules du terme général

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme général : Expression donnant $u(n)$ en fonction d’un terme de départ et de la raison r.
• Rang 0 : Première origine utilisée quand on écrit une formule du type $u(n)=u(0)+n\times r$.
• Rang 1 : Origine utilisée quand on écrit une formule du type $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$.

📝 Points essentiels

• Formule avec départ en rang 0 : $u(n)=u(0)+n\times r$.
• Formule avec départ en rang 1 : $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$.
• On peut retrouver la raison par $r=u(n+1)-u(n)$ grâce à la différence entre deux termes consécutifs.
• Si on connaît deux termes consécutifs, $r$ se calcule directement par $r=u(n+1)-u(n)$.
• Les deux écritures d’une formule du terme général se distinguent par l’utilisation de $u(0)$ ou de $u(1)$, avec respectivement $n$ ou $(n-1)$.

💡 Astuce mémo

Rang 0 → coefficient n; rang 1 → coefficient (n-1).

📖 3. Sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Suite arithmétique qui augmente à mesure que le rang augmente.
• Suite décroissante : Suite arithmétique qui diminue à mesure que le rang augmente.
• Suite constante : Suite arithmétique qui reste égale quand le rang augmente.

📝 Points essentiels

• Condition de croissance : $r>0$ implique une suite croissante, par exemple avec $r=3$ : 2, 5, 8, 11, 14.
• Condition de décroissance : $r<0$ implique une suite décroissante, par exemple avec $r=-3$ : 20, 17, 14, 11.
• Condition de constance : $r=0$ implique une suite constante, par exemple 5, 5, 5, 5, 5.
• La valeur de r détermine le sens de variation directement, sans calcul de plusieurs termes.
• Le sens de variation correspond au signe de $r$ : positif, négatif ou nul.

💡 Astuce mémo

Signe de r : + croît, − décroît, 0 constant.

📖 4. Somme des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme S : Somme des n premiers termes d’une suite, notée généralement $S$.
• Premier et dernier terme : Le premier terme de la somme est noté $u(1)$, et le dernier terme est noté $u(n)$ dans la formule donnée.
• Nombre de termes n : Effectif de la somme, indiqué comme égal à $n$ dans la formule du cours.

📝 Points essentiels

• Formule de la somme : $S=\dfrac{n\times(u(1)+u(n))}{2}$.
• On interprète la formule comme $n\times\dfrac{(premier+dernier)}{2}$, donc une moyenne multipliée par le nombre de termes.
• De $u(1)$ à $u(n)$, il y a exactement n termes dans la somme.
• Dans la formule, $u(1)$ et $u(n)$ sont les bornes de la somme et jouent des rôles symétriques dans $u(1)+u(n)$.
• Le cours utilise explicitement la méthode moyenne : moyenne des bornes puis multiplication par n.

💡 Astuce mémo

Moyenne des extrêmes × nombre de termes : $\dfrac{u(1)+u(n)}{2}\times n$.

📖 5. Méthode de calcul et astuces

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul de u(n) : Démarche pour obtenir un terme demandé à partir de $u(1)$ (ou $u(0)$) et de la raison r.
• Vérification par liste : Contrôle en écrivant plusieurs termes successifs pour confirmer la cohérence du calcul.
• Retrouver r : Méthode pour déterminer la raison à partir de deux termes et du nombre d’écarts.

📝 Points essentiels

• Exemple : avec $u(1)=3$ et $r=4$, on calcule $u(5)=3+(5-1)\times4=19$.
• La vérification demandée consiste à lister les termes de 3 à 19 : 3 → 7 → 11 → 15 → 19.
• Pour la somme de ces 5 termes : $S=\dfrac{5\times(3+19)}{2}=55$.
• Astuce : contrôler que $u(n+1)-u(n)$ est bien constant et égal à r avant de conclure.
• Astuce : ne pas confondre $u(n)=u(0)+n\times r$ et $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$.
• Astuce : pour une somme de $u(1)$ à $u(n)$, compter n termes et retrouver r par $r=\dfrac{u(\text{dernier})-u(\text{premier})}{\text{nombre d’écarts}}$.

💡 Astuce mémo

Toujours : calcul $u(n)$ → vérifier en listant → appliquer $S=n\times(\text{1er}+\text{dernier})/2$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre les formules selon l’origine : utiliser n au lieu de (n−1) quand on part de $u(1)$.
2. Se tromper sur le nombre de termes : de $u(1)$ à $u(n)$ il y a n termes, pas $(n-1)$.
3. Inverser le signe de la raison : $r=-3$ donne une suite décroissante (on diminue), pas croissante.
4. Utiliser une différence non consécutive pour trouver r au lieu de $u(n+1)-u(n)$.
5. Oublier la vérification en listant des termes peut masquer une erreur de calcul de u(n) ou de r.
6. Mauvaise interprétation de r : la raison est la valeur ajoutée à chaque étape, pas la somme des termes.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une suite est arithmétique en utilisant $u(n+1)=u(n)+r$ ou $u(n+1)-u(n)=r$.
2. Calculer la raison r à partir de deux termes consécutifs via $r=u(n+1)-u(n)$.
3. Choisir la bonne formule du terme général selon l’origine : $u(n)=u(0)+n\times r$ ou $u(n)=u(1)+(n-1)\times r$.
4. Calculer un terme demandé $u(n)$ en remplaçant correctement $n$ et la raison r dans la formule.
5. Déterminer le sens de variation uniquement avec le signe de r : $r>0$, $r<0$, $r=0$.
6. Calculer la somme de $n$ termes avec $S=\dfrac{n\times(u(1)+u(n))}{2}$.
7. Déterminer $u(n)$ puis calculer $S$ à partir des bornes $u(1)$ et $u(n)$.
8. Vérifier la cohérence en listant plusieurs termes successifs et en retrouvant la différence constante r.
9. Retrouver r à partir du premier et du dernier terme en utilisant $r=\dfrac{u(\text{dernier})-u(\text{premier})}{\text{nombre d’écarts}}$.