Lernzettel: Maîtrise du théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Calcul de l'hypoténuse
3. Calcul d'un côté adjacent
4. Réciproque du théorème
5. Contraposée du théorème

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Un triangle rectangle possède un angle de 90°, et les deux côtés qui forment cet angle droit sont appelés côtés de l’angle droit.
• Hypoténuse : L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, et c’est le plus grand côté du triangle rectangle.
• Théorème de Pythagore : Le théorème de Pythagore relie l’hypoténuse et les deux côtés de l’angle droit par une relation en carrés.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle ABC rectangle en A, on a BC² = AB² + AC².
• Pour l’exemple FJK rectangle, FJ² = FK² + KJ², avec 8² + 15² = 289.
• On obtient alors FJ = √289 = 17 dans l’exemple donné.

💡 Astuce mémo

Carrés à la fin : l’hypoténuse au carré = somme des carrés des deux autres côtés.

📖 2. Calcul de l'hypoténuse

🔑 Notions clés & Définitions

• Côté opposé à l’angle droit : Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, donc c’est celui qu’on cherche quand l’angle droit est connu.
• Carré et racine : Calculer l’hypoténuse passe par une équation en carrés puis par une racine carrée à la fin.

📝 Points essentiels

• Quand le triangle est rectangle et que l’on cherche l’hypoténuse, on applique BC² = AB² + AC².
• Exemple : dans FJK rectangle, FJ² = 8² + 15² = 289, donc FJ = √289 = 17.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = racine carrée de (somme des deux carrés).

📖 3. Calcul d'un côté adjacent

🔑 Notions clés & Définitions

• Côté adjacent à l’angle droit : Un côté adjacent à l’angle droit est l’un des deux côtés qui forment l’angle de 90°.
• Côté à isoler : Pour calculer un côté adjacent, on réorganise la formule du théorème de Pythagore pour isoler le bon terme en carré.

📝 Points essentiels

• Quand on cherche un côté adjacent à l’angle droit, on part de l’égalité en carrés puis on isole le côté recherché au carré.
• Exemple : dans RTA rectangle, TA² = RA² + RT² puis 85² = RA² + 68².
• On obtient RA² = 7225 − 4624 = 2601, donc RA = √2601 = 51.

💡 Astuce mémo

Opposer : si le côté cherché est un terme à isoler, soustrais-le du membre où se trouve l’hypoténuse au carré.

📖 4. Réciproque du théorème

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque : La réciproque permet de conclure qu’un triangle est rectangle à partir d’une relation en carrés vérifiée entre ses côtés.
• Égalité des carrés : Dans le test de rectangle, on compare BC² et AB² + AC² ; l’égalité sert de condition de rectangle.

📝 Points essentiels

• Si BC est le plus grand côté et que BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.
• La conclusion de la réciproque s’appuie explicitement sur l’égalité BC² = AB² + AC².

💡 Astuce mémo

Égalité = rectangle : si le plus grand côté au carré égale la somme des deux autres carrés, l’angle droit est au sommet A.

📖 5. Contraposée du théorème

🔑 Notions clés & Définitions

• Contraposée : La contraposée donne une méthode pour conclure qu’un triangle n’est pas rectangle lorsque la relation du théorème n’est pas satisfaite.
• Inégalité des carrés : Dans le test de non-rectangle, on vérifie que BC² n’est pas égal à AB² + AC².

📝 Points essentiels

• Si BC est le plus grand côté et que BC² ≠ AB² + AC², alors le triangle ABC n’est pas rectangle.
• Exemple TOC : CT est le plus grand côté, CT² = 85² = 7225 et CO² + OT² = 35² + 77² = 7154.
• Comme 7225 ≠ 7154, le triangle TOC n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Pas d’égalité = pas rectangle : si BC² diffère de AB² + AC², l’angle droit n’existe pas.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’hypoténuse avec un côté adjacent : l’hypoténuse est celle qui est opposée à l’angle droit et c’est le plus grand côté.
2. Écrire la mauvaise relation : dans un triangle rectangle ABC en A, c’est BC² = AB² + AC² (et non l’inverse avec des carrés mal placés).
3. Chercher une longueur sans finir par une racine carrée : après un calcul en carrés, il faut prendre la racine pour obtenir la longueur.
4. Utiliser la réciproque/contraposée sans vérifier le plus grand côté : le cours précise que BC (ou CT) est pris comme plus grand côté pour le test.
5. Conclure rectangle à partir d’une simple différence : en contraposée, il faut bien une inégalité BC² ≠ AB² + AC².
6. Se tromper dans les calculs d’écart en isolant un côté : l’exemple RTA montre une soustraction 85² − 68² pour trouver RA².

✅ Checklist Examen

1. Identifier l’hypoténuse comme le côté opposé à l’angle droit et le plus grand côté du triangle.
2. Écrire la formule du théorème de Pythagore dans le cas standard ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC².
3. Calculer l’hypoténuse quand les deux côtés de l’angle droit sont connus à partir d’une somme de carrés puis d’une racine carrée.
4. Réorganiser la formule pour calculer un côté adjacent à l’angle droit en isolant le terme en carré.
5. Exécuter un calcul complet comme l’exemple FJK : passer de FJ² = 8² + 15² à FJ = 17.
6. Exécuter un calcul complet comme l’exemple RTA : passer de 85² = RA² + 68² à RA = 51.
7. Utiliser la réciproque : conclure que le triangle est rectangle en A si BC² = AB² + AC² avec BC le plus grand côté.
8. Utiliser la contraposée : conclure que le triangle n’est pas rectangle si BC² ≠ AB² + AC² avec BC le plus grand côté.
9. Appliquer le test sur un exemple numérique : vérifier l’égalité ou l’inégalité des carrés avant de conclure.
10. Reproduire le raisonnement sur l’exemple TOC : calculer CT² puis CO² + OT² et conclure par inégalité.