Lernzettel: Maîtrise du théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Calcul de l’hypoténuse par Pythagore
2. Calcul d’un côté de l’angle droit
3. Reconnaître un triangle rectangle par réciproque
4. Tester la non-rectangularité par contraposée

📖 1. Calcul de l’hypoténuse par Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Pythagore : Théorème reliant les longueurs des côtés d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse vaut la somme des carrés des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté et elle est opposée à l’angle droit.
• Si $EF$ est l’hypoténuse, alors $EF^2=EG^2+GF^2$.
• Avec $EG=8$ et $GF=6$, on obtient $EF^2=8^2+6^2=64+36=100$.
• Comme $EF^2=100$, la longueur vaut $EF=\sqrt{100}=10$.
• Le calcul passe toujours par une mise au carré avant de sommer puis de prendre la racine.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse = somme des carrés : $c^2=a^2+b^2$.

📖 2. Calcul d’un côté de l’angle droit

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Triangle possédant un angle droit, donc dont les deux côtés de l’angle droit sont les côtés qui forment cet angle.
• Théorème de Pythagore : Théorème reliant les longueurs des côtés d’un triangle rectangle : le carré de l’hypoténuse vaut la somme des carrés des deux autres côtés.

📝 Points essentiels

• Pour calculer un côté de l’angle droit, on utilise encore $\text{hypoténuse}^2=\text{côté 1}^2+\text{côté 2}^2$.
• Dans l’exemple, $TS$ est l’hypoténuse car le triangle est rectangle en $R$.
• On écrit $TS^2=RS^2+TR^2$ puis on isole $RS^2$.
• Avec $TS=5{,}28$ et $TR=4$, on calcule $5{,}28^2=33{,}04$ puis $RS^2=33{,}04-16=17{,}64$.
• On obtient $RS=\sqrt{17{,}64}=4{,}2$ cm.

💡 Astuce mémo

Pour trouver un côté : on isole son carré après avoir mis l’hypoténuse au carré.

📖 3. Reconnaître un triangle rectangle par réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du théorème de Pythagore : Critère : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.
• Plus grand côté : Côté opposé à l’angle le plus grand, qui devient l’hypoténuse si le triangle est rectangle.

📝 Points essentiels

• Pour appliquer la réciproque, on doit d’abord identifier le plus grand côté du triangle.
• On calcule le carré du plus grand côté et on compare à la somme des carrés des deux autres.
• Exemple 1 : pour $UGS$, le plus grand côté est $GS$ et $GS^2=5{,}3^2=28{,}09$.
• Toujours dans l’exemple 1 : $GU^2+US^2=4{,}5^2+2{,}8^2=20{,}25+7{,}84=28{,}09$.
• Comme $GS^2=GU^2+US^2$, la réciproque conclut que le triangle est rectangle (en $U$).

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés : si $\text{plus grand}^2=\text{autres}^2+\text{autres}^2$, alors rectangle.

📖 4. Tester la non-rectangularité par contraposée

🔑 Notions clés & Définitions

• Contraposée du théorème de Pythagore : Critère de non-rectangularité : si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n’est pas rectangle.

📝 Points essentiels

• On utilise la contraposée quand on veut prouver qu’un triangle n’est pas rectangle.
• On calcule $\text{plus grand côté}^2$ puis $\text{autre}^2+\text{autre}^2$ et on compare.
• Exemple 2 : pour $ABC$, le plus grand côté est $CB$ et $CB^2=6{,}4^2=49{,}96$.
• On calcule aussi $CA^2+AB^2=3{,}4^2+5{,}7^2=11{,}56+32{,}49=44{,}05$.
• Comme $CB^2\neq CA^2+AB^2$, la contraposée conclut que le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

💡 Astuce mémo

Inégalité des carrés : si ce n’est pas égal, ce n’est pas rectangle.

📊 Tableaux de synthèse

Réciproque vs contraposée

Situation	Test sur les carrés	Conclusion
Triangle rectangle ?	$\text{plus grand}^2=\text{autre}^2+\text{autre}^2$	Triangle rectangle
Triangle non rectangle ?	$\text{plus grand}^2\neq\text{autre}^2+\text{autre}^2$	Triangle pas rectangle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’hypoténuse avec un autre côté : dans les calculs, l’hypoténuse est le plus grand côté si le triangle est rectangle.
2. Oublier de mettre au carré avant de sommer ou de soustraire : on travaille avec des carrés, pas avec les longueurs directes.
3. Appliquer la réciproque sans identifier le plus grand côté : la comparaison doit porter sur le carré du plus grand côté.
4. Se tromper en isolant le carré d’un côté de l’angle droit : on isole $RS^2$ après avoir écrit $TS^2=RS^2+TR^2$.
5. Comparer des valeurs arrondies incohérentes : dans les exemples, les carrés donnent des nombres précis (ex. $33{,}04$) avant la racine.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle à partir des deux autres côtés avec $c^2=a^2+b^2$.
2. Savoir calculer un côté de l’angle droit en isolant son carré dans $\text{hypoténuse}^2=\text{côté}^2+\text{côté}^2$.
3. Savoir reconnaître un triangle rectangle par réciproque en vérifiant l’égalité $\text{plus grand}^2=\text{autres}^2+\text{autres}^2$.
4. Savoir tester la non-rectangularité par contraposée en vérifiant l’inégalité $\text{plus grand}^2\neq\text{autres}^2+\text{autres}^2$.
5. Savoir choisir le plus grand côté avant toute comparaison (c’est l’hypoténuse dans le cas rectangle).