Lernzettel: Mathématiques fondamentales de 6e

📋 Plan du Cours

1. La soustraction
2. La multiplication
3. La division
4. Nombres décimaux et fractions
5. La proportionnalité
6. Périmètre, aire et durées
7. Les figures géométriques
8. Les probabilités
9. Inconnues et algèbre

📖 1. La soustraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Soustraction : Opération qui permet de calculer une différence, de trouver ce qu’il reste ou de déterminer ce qui manque.

★ À maîtriser

📌 Pour poser une soustraction, on place les chiffres de même rang les uns sous les autres, puis on commence le calcul par la droite.

📌 Lorsque le chiffre du haut est trop petit pour effectuer une soustraction, on utilise une retenue.

• 🔄 Pour soustraire des nombres décimaux, il faut: aligner les virgules, ajouter si nécessaire des zéros à droite de la partie décimale, effectuer la soustraction

Compléments

• L’exemple $25{,}40 - 7{,}85 = 17{,}55$ montre que $25{,}4$ peut être écrit $25{,}40$ avant la soustraction.

📌 Une soustraction peut être vérifiée grâce à une addition : si $25{,}4 - 7{,}85 = 17{,}55$, alors $17{,}55 + 7{,}85 = 25{,}4$.

💡 Astuce mémo

Aligner, commencer à droite, retenir si nécessaire, vérifier par addition

📖 2. La multiplication

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication : Opération qui permet notamment d’additionner plusieurs fois une même quantité ; son résultat s’appelle le produit.

★ À maîtriser

• La multiplication $4 \times 7 = 28$ équivaut à l’addition répétée $7 + 7 + 7 + 7 = 28$.

• Pour effectuer une multiplication posée, on multiplie successivement chaque chiffre.

• Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 rend respectivement ce nombre 10, 100 ou 1 000 fois plus grand, car les chiffres changent de rang.

• 🔄 Pour multiplier deux nombres décimaux, on: effectue la multiplication sans tenir compte des virgules, compte le nombre total de chiffres après les virgules, place la virgule dans le résultat

Compléments

📌 Les tables de multiplication doivent être bien connues pour effectuer une multiplication posée.

• Les calculs $4{,}5 \times 10 = 45$, $4{,}5 \times 100 = 450$ et $4{,}5 \times 1\ 000 = 4\ 500$ illustrent le changement de rang des chiffres.

• Dans $2{,}5 \times 1{,}2$, on calcule $25 \times 12 = 300$ et les deux facteurs ont au total deux chiffres après la virgule, donc $2{,}5 \times 1{,}2 = 3{,}00 = 3$.

💡 Astuce mémo

Chiffres de rang supérieur → nombre multiplié par 10, 100 ou 1 000

📖 3. La division

🔑 Notions clés & Définitions

• Division : Opération qui permet notamment de partager une quantité en parts égales ou de déterminer combien de fois une quantité est contenue dans une autre.
• Division euclidienne : Division donnant un dividende, un diviseur, un quotient et éventuellement un reste.
• Division décimale : Une division décimale donne un résultat décimal lorsque le partage exact produit un nombre à virgule.

★ À maîtriser

• Dans $17 \div 5$, le quotient est 3 et le reste est 2, car $17 = 5 \times 3 + 2$.

• Diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000 le rend respectivement 10, 100 ou 1 000 fois plus petit.

Compléments

• Le calcul $7 \div 2 = 3{,}5$ signifie que 7 partagé en 2 parts égales donne 3,5 dans chaque part.

• Les calculs $45 \div 10 = 4{,}5$, $45 \div 100 = 0{,}45$ et $45 \div 1\ 000 = 0{,}045$ illustrent la division par des puissances de 10.

💡 Astuce mémo

Partager en parts égales ou compter combien de fois une quantité est contenue

📖 4. Nombres décimaux et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre possédant une partie entière et éventuellement une partie décimale séparées par une virgule.
• Fraction : Nombre pouvant représenter une ou plusieurs parts d’un tout partagé en parts égales.

★ À maîtriser

• Dans le nombre 37,485, 3 représente les dizaines, 7 les unités, 4 les dixièmes, 8 les centièmes et 5 les millièmes.

📌 Ajouter un zéro à droite de la partie décimale ne change pas la valeur du nombre.

• Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord leur partie entière, puis, si elle est identique, les dixièmes, les centièmes et les millièmes dans cet ordre.

• Dans la fraction $\frac{3}{4}$, 3 est le numérateur et 4 est le dénominateur.

📌 Le dénominateur indique en combien de parts égales le tout est partagé, tandis que le numérateur indique combien de ces parts sont considérées.

• Pour calculer $\frac{1}{4}$ de 20, on partage 20 en 4 parts égales, ce qui donne $20 \div 4 = 5$.

Compléments

• Les écritures $4{,}5 = 4{,}50 = 4{,}500$ représentent le même nombre.

• $7{,}35 > 7{,}305$ car $7{,}350 > 7{,}305$.

📌 Une fraction est aussi une division : $\frac{3}{4}$ signifie également $3 \div 4$, donc $\frac{3}{4} = 0{,}75$.

• Les fractions $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{4}$ et $\frac{5}{10}$ sont équivalentes et représentent la même quantité.

💡 Astuce mémo

La virgule organise les rangs ; la fraction organise les parts d’un tout

📖 5. La proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque l’une varie toujours dans la même proportion que l’autre.

★ À maîtriser

• 🔄 Le retour à l’unité consiste à: diviser la valeur connue par le nombre d’unités, obtenir la valeur correspondant à une unité, déterminer la valeur d’un autre nombre d’unités

Compléments

• Si 4 objets coûtent 20 €, alors un objet coûte $20 \div 4 = 5$ €, et cette valeur permet de calculer le prix d’un autre nombre d’objets.

• En 6e, la proportionnalité est notamment étudiée avec la linéarité et le retour à l’unité.

💡 Astuce mémo

Grandeur connue → retour à l’unité → nouvelle valeur

📖 6. Périmètre, aire et durées

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre : Longueur du contour d’une figure.
• Aire : Mesure de la surface d’une figure.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un rectangle, le périmètre vérifie $P = 2 \times (\text{longueur} + \text{largeur})$ et l’aire vérifie $A = \text{longueur} \times \text{largeur}$.

• Un périmètre s’exprime par exemple en cm, tandis qu’une aire s’exprime par exemple en cm².

• Une heure contient 60 minutes et une minute contient 60 secondes.

📌 Les durées ne fonctionnent pas comme les nombres décimaux : 1 h 30 min = 1,5 h, mais 1 h 30 min n’est pas 1,30 h.

Compléments

• Pour un rectangle de 8 cm sur 3 cm, $P = 2 \times (8 + 3) = 22\ \text{cm}$ et $A = 8 \times 3 = 24\ \text{cm}^2$.

• Entre 14 h 20 et 15 h 20, il s’écoule 1 heure ; entre 15 h 20 et 15 h 45, il s’écoule 25 minutes, donc entre 14 h 20 et 15 h 45, il s’écoule 1 h 25 min.

💡 Astuce mémo

Contour en unités simples, surface en unités carrées, durée en 60

📖 7. Les figures géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites parallèles : Droites qui ne se coupent jamais.
• Droites perpendiculaires : Droites qui se coupent en formant un angle droit.
• Segment : Portion de droite limitée par deux points.
• Cercle : Un cercle possède un centre et un rayon, et tous ses points sont à la même distance de son centre.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le diamètre d’un cercle passe par son centre et sa longueur vérifie $d = 2 \times r$.

Compléments

• Le segment ayant pour extrémités A et B se note [AB].

💡 Astuce mémo

Deux droites se séparent, se croisent à angle droit ou restent parallèles

📖 8. Les probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Une probabilité permet de mesurer les chances qu’un événement se produise.

★ À maîtriser

📌 Une probabilité est comprise entre 0 et 1.

📌 Une probabilité égale à 0 correspond à un événement impossible, une probabilité égale à 1 à un événement certain et une probabilité comprise entre 0 et 1 à un événement plus ou moins probable.

• Dans un sac contenant 10 boules dont 3 rouges, la probabilité de tirer une boule rouge est $\frac{3}{10}$.

Compléments

• La probabilité $\frac{3}{10}$ peut aussi s’écrire 0,3 ou 30 %.

💡 Astuce mémo

Impossible = 0, possible = entre 0 et 1, certain = 1

📖 9. Inconnues et algèbre

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre inconnu : Nombre à déterminer pour rendre une égalité vraie.

★ À maîtriser

• Dans l’égalité □ + 7 = 12, le nombre inconnu est 5, car $5 + 7 = 12$.

• Pour trouver un nombre inconnu, on recherche la valeur qui rend l’égalité donnée vraie.

Compléments

• Le raisonnement sur les nombres inconnus utilise notamment:

  • des modèles
  • des symboles
  • des programmes de calcul
  • des régularités

• Le travail sur les nombres inconnus prépare progressivement au calcul littéral, qui sera davantage développé au cycle 4.

💡 Astuce mémo

Égalité connue → nombre inconnu à déterminer

📊 Tableaux de synthèse

Périmètre et aire du rectangle

Grandeur	Ce qu’elle mesure	Formule	Unité exemple
Périmètre	Longueur du contour	$P = 2 \times (L + l)$	cm
Aire	Mesure de la surface	$A = L \times l$	cm²