Lernzettel: Mathématiques : nombres et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Fractions et nombres rationnels
2. Opérations sur les nombres relatifs
3. Équations du premier degré
4. Proportionnalité
5. Organisation des données statistiques
6. Symétrie et repérage
7. Triangles et constructions
8. Quadrilatères et propriétés
9. Géométrie dans l’espace

📖 1. Fractions et nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction : Représente le quotient d’un nombre par un nombre non nul, avec un numérateur au-dessus du dénominateur.

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs.

• Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

Compléments

• Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par sa fraction inverse.

📖 2. Opérations sur les nombres relatifs

★ À maîtriser

• La somme de deux nombres relatifs de même signe conserve ce signe et a pour distance à zéro la somme des distances à zéro.

• La somme de deux nombres relatifs de signes différents prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et sa distance à zéro est la différence des distances à zéro.

📌 Le produit de deux nombres relatifs est positif si les deux facteurs ont le même signe et négatif s’ils ont des signes différents.

Compléments

• Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé : $a-b=a+(-b)$.

📖 3. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une égalité contenant un nombre inconnu, généralement représenté par une lettre, qu’il faut déterminer.

★ À maîtriser

📌 Une égalité reste vraie lorsqu’on ajoute ou soustrait un même nombre à ses deux membres.

📌 Une égalité reste vraie lorsqu’on multiplie ou divise ses deux membres par un même nombre non nul.

Compléments

• Pour résoudre une équation du premier degré, on développe si nécessaire, on réduit chaque membre, puis on regroupe les termes contenant l’inconnue et les nombres avant d’isoler l’inconnue.

📖 4. Proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on obtient les valeurs de l’une en multipliant les valeurs correspondantes de l’autre par un même coefficient.

★ À maîtriser

• Dans un tableau de proportionnalité, le quotient d’une valeur de la seconde ligne par la valeur correspondante de la première ligne est constant.

Compléments

📐 Formule — Le produit en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle : si $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, alors $ad=bc$.

• Une échelle compare une longueur représentée à la longueur réelle correspondante.

📖 5. Organisation des données statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Effectif : D’une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans une série statistique.
• Fréquence : D’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total de la série.
• Moyenne : D’une série est obtenue en divisant la somme des valeurs par l’effectif total.
• Médiane : La valeur qui partage une série ordonnée en deux groupes comportant chacun au moins la moitié des données.

📖 6. Symétrie et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Associe à chaque point un point symétrique tel que l’axe soit la médiatrice du segment qui les relie.
• Symétrie centrale : Associe à chaque point un point symétrique dont le centre de symétrie est le milieu du segment qui les relie.
• Distance sur une droite : Sur une droite graduée, la distance entre deux points d’abscisses $x_A$ et $x_B$ vaut $AB=|x_B-x_A|$.
• Valeur absolue : D’un nombre est sa distance à zéro : $|x|=x$ si $x\geq0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

📖 7. Triangles et constructions

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle : Un polygone constitué de trois côtés, trois sommets et trois angles.

📝 Points essentiels

• Un triangle isocèle possède deux côtés de même longueur, tandis qu’un triangle équilatéral possède trois côtés de même longueur.

• Un triangle rectangle possède un angle droit, tandis qu’un triangle quelconque n’est pas défini par la présence d’un angle droit.

• La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180 degrés.

📖 8. Quadrilatères et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Quadrilatère : Un polygone constitué de quatre côtés, quatre sommets et quatre angles.

★ À maîtriser

• Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et de même longueur.

• Un rectangle est un parallélogramme possédant quatre angles droits, tandis qu’un losange possède quatre côtés de même longueur.

Compléments

• La somme des mesures des angles d’un quadrilatère est égale à 360 degrés.

📖 9. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide : Une figure géométrique de l’espace possédant une longueur, une largeur et une hauteur.
• Prisme droit : Possède deux bases polygonales parallèles et superposables, reliées par des faces latérales rectangulaires.
• Pyramide : Possède une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un même sommet.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le volume d’un prisme droit se calcule par $V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$.

📊 Tableaux de synthèse

Types de triangles

Type	Propriété principale
Isocèle	Deux côtés de même longueur
Équilatéral	Trois côtés de même longueur
Rectangle	Un angle droit

Quadrilatères particuliers

Figure	Propriété principale
Parallélogramme	Côtés opposés parallèles et de même longueur
Rectangle	Quatre angles droits
Losange	Quatre côtés de même longueur