Lernzettel: Mesures des angles orientés

📋 Plan du Cours

1. Définition des mesures orientées
2. Mesure principale
3. Cosinus et sinus orientés
4. Propriétés et relation de Chasles

📖 1. Définition des mesures orientées

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure d’un angle orienté : Les mesures en radians de l’angle orienté $(\vec u;\vec v)$ sont tous les nombres réels de la forme $y-x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif et où $x$ et $y$ sont les nombres réels correspondant aux points images des demi-droites de $\vec u$ et $\vec v$.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé direct, le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ utilisé pour associer aux demi-droites les points images de nombres réels.

📖 2. Mesure principale

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure principale : D’un angle orienté est l’unique mesure appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

📝 Points essentiels

• La mesure principale de $\frac{4\pi}{3}$ est $-\frac{2\pi}{3}$, car $\frac{4\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi$.

📖 3. Cosinus et sinus orientés

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus d’un angle orienté : Égal au cosinus de l’une quelconque de ses mesures en radians.
• Sinus d’un angle orienté : Égal au sinus de l’une quelconque de ses mesures en radians.

📝 Points essentiels

• On a $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$, car les deux mesures diffèrent de $2\pi$.

📖 4. Propriétés et relation de Chasles

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs non nuls sont colinéaires et de même sens si et seulement si leur angle orienté vaut $0$.

📐 Formule — Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$, la relation de Chasles est $(\vec u;\vec v)+(\vec v;\vec w)=(\vec u;\vec w)$ .

Compléments

📐 Formule — Pour tous vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$, on a $(\vec v;\vec u)=-(\vec u;\vec v)$ .

💡 Astuce mémo

Même sens : 0 ; sens contraires : π