Quiz: Mesures des angles orientés — 8 questions

1. Quelles sont les mesures en radians de l’angle orienté $(\vec u;\vec v)$ lorsque les demi-droites correspondent respectivement aux réels $x$ et $y$ sur le cercle trigonométrique ?

A. Les nombres de la forme $y+x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

B. Le seul nombre réel $y-x$

C. Les nombres de la forme $x-y+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

D. Les nombres de la forme $y-x+2k\pi$, avec $k\in\mathbb Z$

Answer: (D)

Explanation

Les mesures de l’angle orienté sont tous les nombres $y-x+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif. Elles diffèrent donc entre elles d’un multiple entier de $2\pi$.

2. Quelle affirmation distingue correctement les mesures d’un angle orienté de sa mesure principale ?

A. Toutes les mesures d’un angle orienté sont identiques, tandis que sa mesure principale peut varier

B. Les mesures d’un angle orienté appartiennent toutes à l’intervalle $]-\pi;\pi]$

C. Les mesures d’un angle orienté sont multiples, tandis que sa mesure principale est unique dans un intervalle donné

D. La mesure principale est toujours supérieure aux autres mesures de l’angle

Answer: (C)

Explanation

Un angle orienté possède plusieurs mesures, obtenues en ajoutant des multiples de $2\pi$. Sa mesure principale est la mesure unique retenue dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

3. Dans quel intervalle se trouve l’unique mesure principale d’un angle orienté ?

A. $[0;2\pi[$

B. $[-\pi;\pi[$

C. $]-2\pi;2\pi]$

D. $]-\pi;\pi]$

Answer: (D)

Explanation

Par définition, la mesure principale est l’unique mesure de l’angle orienté appartenant à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

4. Quelle est la mesure principale de $\frac{4\pi}{3}$ ?

A. $\frac{2\pi}{3}$

B. $-\frac{4\pi}{3}$

C. $-\frac{2\pi}{3}$

D. $\frac{4\pi}{3}$

Answer: (C)

Explanation

On écrit $\frac{4\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi$. La valeur $-\frac{2\pi}{3}$ appartient à $]-\pi;\pi]$, contrairement à $\frac{4\pi}{3}$.

5. Pourquoi le cosinus d’un angle orienté est-il bien défini malgré la multiplicité de ses mesures ?

A. Parce que toutes les mesures d’un angle orienté ont la même valeur numérique

B. Parce que le cosinus a la même valeur pour toutes les mesures qui diffèrent d’un multiple de $2\pi$

C. Parce que le cosinus transforme chaque mesure en sa valeur absolue

D. Parce que le cosinus est défini uniquement à partir de la mesure principale

Answer: (B)

Explanation

Le cosinus d’un angle orienté est le cosinus de l’une quelconque de ses mesures en radians. Sa valeur ne dépend donc pas de la mesure choisie, même si les mesures elles-mêmes sont différentes.

6. Quelle égalité traduit l’invariance du sinus lorsqu’on choisit deux mesures différentes d’un même angle orienté ?

A. $\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

B. $\sin(\theta+2k\pi)=-\sin(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

C. $\sin(\theta+2k\pi)=\sin(\theta)+2k\pi$ pour tout $k\in\mathbb Z$

D. $\sin(\theta+2k\pi)=\cos(\theta)$ pour tout $k\in\mathbb Z$

Answer: (A)

Explanation

Le sinus d’un angle orienté est égal au sinus de n’importe laquelle de ses mesures. Ainsi, l’ajout d’un multiple de $2\pi$ ne change pas sa valeur.

7. Pour deux vecteurs non nuls colinéaires et de même sens, quelle est la valeur de leur angle orienté ?

A. 0

B. −π/2

C. π/2

D. π

Answer: (A)

Explanation

Deux vecteurs colinéaires et de même sens ont un angle orienté égal à 0. Un angle égal à π correspond à des vecteurs de sens contraires.

8. Quels vecteurs non nuls vérifient la relation de Chasles suivante : (u⃗ ; v⃗ ) + (v⃗ ; w⃗ ) = (u⃗ ; w⃗ ) ?

A. Trois vecteurs deux à deux perpendiculaires

B. Trois vecteurs u⃗ , v⃗ et w⃗ quelconques

C. Deux vecteurs colinéaires de même sens

D. Deux vecteurs de normes égales

Answer: (B)

Explanation

La relation de Chasles s’applique à tous vecteurs non nuls u⃗ , v⃗ et w⃗ . Elle relie les angles orientés successifs (u⃗ ; v⃗ ) et (v⃗ ; w⃗ ) à l’angle (u⃗ ; w⃗ ).