Lernzettel: Modélisation et résolution de systèmes linéaires

📋 Plan du Cours

1. Évolution de population par matrice de transition
2. Systèmes linéaires en forme matricielle
3. Méthode de Gauss pour résoudre un système
4. Exercices de systèmes linéaires par Gauss
5. Application à une population de souris
6. Application à un problème de prix de céréales

📖 1. Évolution de population par matrice de transition

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de transition : Matrice qui transforme un vecteur d’état à l’instant $n$ en un vecteur d’état à l’instant $n+1$.
• Vecteur d’état : Vecteur qui regroupe les quantités d’une population à un instant donné, ici jeunes et adultes.
• Population jeunes-adultes : Modèle à deux classes où les jeunes et les adultes évoluent selon des règles saisonnières.
• Équations de récurrence : Relations qui donnent $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à partir de $x_n$ et $y_n$.

📝 Points essentiels

• Pendant l’hiver, $40\%$ des jeunes deviennent adultes, donc la contribution à $y_{n+1}$ depuis $x_n$ vaut $0{,}4x_n$.
• Pendant l’hiver, $80\%$ des adultes survivent, donc la contribution à $y_{n+1}$ depuis $y_n$ vaut $0{,}8y_n$.
• Pendant la reproduction, chaque adulte produit $2$ jeunes, donc la contribution à $x_{n+1}$ vaut $2y_n$ (adultes de l’année $n$).
• Tous les adultes survivent à la reproduction, donc $y_{n+1}$ ne reçoit pas de perte supplémentaire sur cette saison.
• Le système matriciel s’écrit sous la forme $\begin{pmatrix}x_{n+1}\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\y_n\end{pmatrix}$ avec une matrice $A$ déduite directement des coefficients des récurrences.
• Le calcul de $x_n$ et $y_n$ en fonction de $x_0$ et $y_0$ passe par la puissance $A^n$ appliquée au vecteur initial.

💡 Astuce mémo

Hiver = survie (0,4 et 0,8) ; Reproduction = naissance (2×adultes).

📖 2. Systèmes linéaires en forme matricielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Ensemble d’équations linéaires dont les inconnues sont reliées par des coefficients constants.
• Forme matricielle $AX=b$ : Écriture d’un système linéaire sous la forme d’une équation matricielle reliant une matrice de coefficients, les inconnues et un second membre.
• Matrice des coefficients : Matrice qui contient les coefficients des inconnues dans chaque équation du système.
• Vecteur des inconnues : Vecteur colonne regroupant toutes les inconnues du système dans un ordre fixé.
• Vecteur second membre : Vecteur colonne formé des termes constants (à droite des égalités) de chaque équation.

📝 Points essentiels

• Pour écrire $AX=b$, on place les coefficients de $x,y,z$ (ou $x,y$) ligne par ligne selon les équations du système.
• Le nombre de lignes de $A$ correspond au nombre d’équations, et le nombre de colonnes correspond au nombre d’inconnues.
• Le vecteur $b$ contient exactement les constantes de chaque équation, dans le même ordre que les lignes de $A$.
• La résolution d’un système revient à trouver le vecteur des inconnues $X$ tel que $AX=b$ (si une solution existe).
• Dans les exercices, la forme matricielle est utilisée avant d’appliquer Gauss pour obtenir les valeurs des inconnues.
• L’ordre des inconnues dans $X$ doit être cohérent avec l’ordre des colonnes de $A$ (sinon on mélange les résultats).

💡 Astuce mémo

Même ordre partout : lignes de $A$ ↔ équations ; colonnes de $A$ ↔ inconnues ; $b$ ↔ constantes.

📖 3. Méthode de Gauss pour résoudre un système

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice augmentée : Matrice obtenue en juxtaposant la matrice des coefficients et le vecteur second membre.
• Opérations élémentaires sur les lignes : Transformations qui modifient la matrice augmentée sans changer l’ensemble des solutions.
• Échelonnement : Étape où l’on transforme la matrice augmentée pour obtenir des pivots et des zéros sous (ou au-dessus) d’eux.
• Pivot : Coefficient non nul utilisé pour éliminer les autres termes de la même colonne par opérations de lignes.
• Système équivalent : Système obtenu après opérations de Gauss qui a exactement les mêmes solutions que le système initial.

📝 Points essentiels

• On forme la matrice augmentée en mettant $b$ à droite de $A$ pour résoudre directement le système.
• Les opérations autorisées sont du type : échanger deux lignes, multiplier une ligne par un scalaire non nul, ajouter à une ligne un multiple d’une autre ligne.
• L’objectif est d’obtenir une forme échelonnée puis souvent une forme réduite pour remonter facilement aux inconnues.
• Un pivot doit être non nul ; si une colonne ne fournit pas de pivot, il faut adapter (par échange de lignes) pour continuer l’élimination.
• Une fois la matrice échelonnée obtenue, on résout par substitution arrière (remontée des équations).
• La méthode de Gauss s’applique aux systèmes de tailles différentes (2, 3 inconnues, etc.) tant qu’on peut former la matrice augmentée.

💡 Astuce mémo

Gauss = Zéros par pivots : on fabrique des 0 sous la colonne du pivot, puis on remonte.

📖 4. Exercices de systèmes linéaires par Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Substitution arrière : Technique de résolution après échelonnement, où l’on calcule d’abord une inconnue puis les autres en remontant.
• Équations à 3 inconnues : Cas où le système comporte trois variables (souvent notées $x,y,z$) et donc une résolution par élimination.
• Système surdéterminé ou déterminé : Catégories selon le nombre d’équations par rapport au nombre d’inconnues, influençant l’existence et l’unicité des solutions.
• Élimination de variable : Procédé de Gauss consistant à supprimer une inconnue d’une équation en combinant des lignes.

📝 Points essentiels

• Exercice 3 : le système comporte 3 équations et 3 inconnues ($x,y,z$) et se résout par élimination de Gauss.
• Exercice 4 : le système comporte 3 équations et 3 inconnues ($x,y,z$) avec des coefficients incluant $2x+6y+7z$, $2x+3z$ et $-2x+9y+3z$.
• Exercice 5 : le système comporte 3 équations et 3 inconnues ($x,y,z$) avec un terme constant $-5$, $11$ et $-20$ selon les équations.
• Exercice 6 : le système comporte 3 équations et 3 inconnues ($x,y,z$) et se résout en appliquant Gauss à la matrice augmentée.
• Exercice 7 : le système comporte 3 équations et 3 inconnues ($x,y,z$) avec des coefficients négatifs, ce qui n’empêche pas l’échelonnement.
• Dans tous ces exercices, la démarche commune est : matrice augmentée → opérations de Gauss → substitution arrière pour obtenir $(x,y,z)$.

💡 Astuce mémo

Même recette sur tous : matrice augmentée → pivots → substitution arrière.

📖 5. Application à une population de souris

🔑 Notions clés & Définitions

• Mâles et femelles : Deux classes de la population, notées $x$ (mâles) et $y$ (femelles) au début de l’expérience.
• Multiplication des effectifs : Hypothèse de croissance sans décès où $x$ est multiplié par 2 et $y$ par 3 en un mois.
• Répartition grise/blanche : Répartition des naissances selon le type de souris, ici blanche avec probabilité $1/4$ et grise avec $3/4$.
• Système linéaire de bilan : Équations qui traduisent les effectifs finaux et les proportions de couleurs pour relier $x$ et $y$.
• Matrice associée au système : Matrice $A$ et vecteur $b$ qui traduisent les équations de bilan sous la forme $AX=b$.

📝 Points essentiels

• La population initiale compte des mâles gris et des femelles blanches, et la population finale totale vaut $284$ souris après un mois.
• En un mois, le nombre de mâles au début est multiplié par 2, donc l’effectif de mâles à la fin vaut $2x$.
• En un mois, le nombre de femelles au début est multiplié par 3, donc l’effectif de femelles à la fin vaut $3y$.
• L’accouplement donne une souris blanche une fois sur quatre et grise trois fois sur quatre, ce qui impose une répartition des naissances entre blanches et grises.
• Il n’y a eu aucun décès, donc les effectifs finaux sont uniquement dus aux multiplications et à la répartition des naissances.
• Le système à résoudre relie $x$ et $y$ via le total final $284$ et la proportion blanche/grise, puis se résout par Gauss.

💡 Astuce mémo

Sans décès : fin = (2x) + (3y) ; et la couleur impose le partage 1/4 vs 3/4.

📖 6. Application à un problème de prix de céréales

🔑 Notions clés & Définitions

• Prix à la tonne : Variables $x,y,z$ représentant respectivement le prix de la tonne de blé, tournesol et sorgho.
• Moyenne de prix : Relation où le prix du blé est la moyenne des prix du tournesol et du sorgho.
• Paiement total : Équation reliant les quantités livrées et les prix unitaires au montant total reçu.
• Paiement pour 1 tonne de chaque : Condition supplémentaire qui donne une équation simple sur $x+y+z$ via le montant $5,1$ Me.
• Système linéaire de prix : Ensemble d’équations linéaires traduisant les conditions économiques du problème.

📝 Points essentiels

• Quantités livrées : $30$ tonnes de blé, $45$ tonnes de tournesol et $75$ tonnes de sorgho.
• Le montant total reçu est $234$ Me, ce qui donne une équation du type $30x+45y+75z=234$.
• Le prix du blé est la moyenne des prix du tournesol et du sorgho, donc $x=\dfrac{y+z}{2}$.
• Si l’agriculteur avait livré 1 tonne de chaque céréale, il aurait été payé $5,1$ Me, donc $x+y+z=5{,}1$.
• On obtient ainsi un système de 3 équations en 3 inconnues $(x,y,z)$.
• Le système se met ensuite sous forme matricielle puis se résout par la méthode de Gauss.

💡 Astuce mémo

Trois conditions = trois équations : total 234, moyenne $x=(y+z)/2$, et somme $x+y+z=5{,}1$.

📊 Tableaux de synthèse

Gauss vs mise en forme matricielle

Étape	But	Sortie
Mise en forme matricielle	Traduire le système en $AX=b$	Une matrice $A$ et un vecteur $b$
Méthode de Gauss	Résoudre en éliminant	Une matrice échelonnée puis les valeurs des inconnues

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Mélanger l’ordre des inconnues entre $X$ et les colonnes de la matrice $A$ conduit à des résultats faux.
2. Oublier que la matrice de transition s’obtient directement à partir des coefficients des récurrences $x_{n+1},y_{n+1}$.
3. Confondre la survie hivernale (coefficients 0,4 et 0,8) avec la reproduction (coefficient 2 sur les adultes).
4. Écrire une équation de prix sans respecter les unités (tonnes et montants en Me).
5. Appliquer Gauss en oubliant la matrice augmentée (il faut inclure le second membre à droite).

✅ Checklist Examen

1. Savoir construire les récurrences $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ à partir des règles hiver/reproduction puis écrire la forme matricielle avec la matrice de transition.
2. Savoir exprimer $(x_n,y_n)$ en fonction de $(x_0,y_0)$ via la puissance de la matrice de transition.
3. Savoir passer d’un système d’équations à la forme matricielle $AX=b$ en identifiant correctement $A$, $X$ et $b$.
4. Savoir résoudre un système par Gauss : former la matrice augmentée, appliquer des opérations élémentaires, échelonner puis faire la substitution arrière.
5. Savoir résoudre le problème des souris en écrivant le système (équations + forme matricielle) à partir du total final 284 et des multiplications 2 et 3, puis appliquer Gauss.
6. Savoir résoudre le problème de prix : écrire les 3 équations (total 234, moyenne du blé, somme pour 1 tonne de chaque), les mettre en forme matricielle et résoudre par Gauss.