Lernzettel: Nombres rationnels et calcul

📋 Plan du Cours

1. Définition des nombres rationnels
2. Addition et soustraction de fractions
3. Multiplication et division de fractions
4. Comparaison des nombres rationnels
5. Résolution de problèmes avec fractions

📖 1. Définition des nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers et b est différent de zéro.
• Fraction irréductible : Une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, leur seul diviseur commun étant 1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’ensemble des nombres rationnels se note ℚ = {a/b | a ∈ ℤ et b ∈ ℤ*}.

• Un même nombre rationnel peut posséder plusieurs écritures fractionnaires équivalentes, comme 1/2, 2/4 et 50/100.

Compléments

📌 Les nombres 3/4, -7/5, 12 et 0,25 sont rationnels, tandis que π et √2 ne sont pas rationnels.

💡 Astuce mémo

Fraction = rapport de deux entiers

📖 2. Addition et soustraction de fractions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour additionner ou soustraire des fractions, on trouve un dénominateur commun, on réécrit chaque fraction avec ce dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs, puis on simplifie le résultat si possible.

📐 Formule — Pour b et d non nuls, a/b + c/d = (a×d + c×b)/(b×d).

Compléments

• Le dénominateur commun peut être le produit des dénominateurs, mais le PPCM est souvent préférable pour obtenir des nombres plus simples.

• Pour calculer 2/3 + 5/4, on obtient 8/12 + 15/12 = 23/12, fraction qui ne peut pas être simplifiée.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, puis calcul des numérateurs

📖 3. Multiplication et division de fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : L’inverse d’un nombre rationnel non nul a/b est b/a, et le produit d’un nombre et de son inverse est égal à 1.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Lors d’une multiplication de fractions, on peut simplifier avant de multiplier en supprimant des facteurs communs entre un numérateur et un dénominateur.

Compléments

• (2/3)÷(4/5) = (2/3)×(5/4) = 10/12 = 5/6.

💡 Astuce mémo

Multiplier droit, diviser par l’inverse

📖 4. Comparaison des nombres rationnels

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour comparer des fractions de dénominateurs différents, on peut les réécrire avec un même dénominateur positif, puis comparer leurs numérateurs.

📌 Lorsque deux fractions ont le même dénominateur positif, celle qui possède le plus grand numérateur est la plus grande.

📌 Parmi les nombres négatifs, celui qui a la plus grande valeur absolue est le plus petit, ainsi -10 < -2.

Compléments

🔄 Processus — On peut aussi comparer deux nombres rationnels en les écrivant sous forme décimale grâce à la division.

• Comme 7/4 = 21/12 et 11/6 = 22/12, on a 7/4 < 11/6.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur, puis comparer les numérateurs

📖 5. Résolution de problèmes avec fractions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Pour calculer une fraction d’une quantité, on multiplie la fraction par cette quantité : fraction d’une quantité = fraction × quantité.

🔄 Processus — Dans un problème, il faut identifier la totalité ou l’unité, traduire les fractions indiquées, puis effectuer les opérations nécessaires, éventuellement à l’aide d’un schéma.

• Dans un collège de 600 élèves, 3/5 sont demi-pensionnaires et 2/3 de ces demi-pensionnaires mangent à la cantine, soit (3/5)×600 = 360 puis (2/3)×360 = 240 élèves.

Compléments

• Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100.

💡 Astuce mémo

Le mot « de » conduit souvent à multiplier

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Un nombre entier est aussi rationnel, car il peut s’écrire avec le dénominateur 1.
2. Additionner directement les numérateurs lorsque les dénominateurs sont différents est incorrect.
3. La simplification en croix concerne des facteurs communs, pas des termes que l’on additionne.
4. Le dénominateur commun choisi doit être positif pour éviter les erreurs de signe.
5. La fraction représente une part de la quantité totale, et non une quantité indépendante.
6. Des écritures différentes ne correspondent pas nécessairement à des valeurs différentes.
7. Le PPCM de 6 et 4 est 12, et non 24.