Lernzettel: Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Distance sur la droite réelle
2. Valeur absolue et distance
3. Encadrement par valeur absolue
4. Intervalles de nombres réels
5. Réunion et intersection
6. Ensembles de nombres

📖 1. Distance sur la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux points : A et B d’une droite graduée est la longueur du segment AB, notée $AB=d(a;b)=|b-a|$.

📝 Points essentiels

• Sur une droite graduée, l’abscisse d’un point M est le nombre réel associé à ce point.

💡 Astuce mémo

La distance se mesure comme un écart entre deux points.

📖 2. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : D’un nombre réel x, notée $|x|$, est la distance entre le point d’abscisse x et l’origine O d’abscisse 0.

★ À maîtriser

📌 Pour tout nombre réel x, $|x|=x$ si $x\geq 0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

Compléments

• On a $|4|=4$ et $|-1,5|=-(-1,5)=1,5$.

📖 3. Encadrement par valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance entre deux nombres : Réels a et x est la valeur absolue de leur différence, notée $|x-a|$.

★ À maîtriser

📌 Pour a, x et r réels avec $r\geq 0$, on a $|x-a|\leq r$ si et seulement si $x\in[a-r;a+r]$.

Compléments

• L’appartenance $x\in[3;7]$ équivaut à $|x-5|\leq 2$, car 5 est le centre et 2 le rayon.

• L’intervalle $[3;7]$ a une longueur de 4 et un rayon de 2.

📖 4. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : $[a;b]$ est l’ensemble des réels x tels que $a\leq x\leq b$.

★ À maîtriser

• Les intervalles $[a;b[$, $]a;b]$ et $]a;b[$ correspondent respectivement à $a\leq x<b$, $a<x\leq b$ et $a<x<b$.

Compléments

• Les intervalles non bornés sont $[a;+\infty[$ pour $x\geq a$, $]a;+\infty[$ pour $x>a$, $]-\infty;b]$ pour $x\leq b$ et $]-\infty;b[$ pour $x<b$.

📐 Formule — Si $a\leq x\leq b$, l’amplitude de l’intervalle est $b-a$.

📖 5. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : De deux intervalles I et J, notée $I\cap J$, est l’ensemble des réels appartenant à I et à J.
• Réunion : De deux intervalles I et J, notée $I\cup J$, est l’ensemble des réels appartenant à I, à J ou aux deux.

📝 Points essentiels

• Pour les intervalles $[0;4]$ et $[1;5]$, leur intersection est $[1;4]$ et leur réunion est $[0;5]$.

💡 Astuce mémo

Intersection = et ; réunion = ou.

📖 6. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres servant à compter, notés $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\ldots\}$.
• Entiers relatifs : Les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls, notés $\mathbb{Z}=\{\ldots;-2;-1;0;1;2;3;\ldots\}$.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule et peut s’écrire $\frac{a}{10^n}$ avec a entier relatif et n entier naturel.

★ À maîtriser

• Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers et possède une écriture décimale finie ou infinie périodique, tandis qu’un nombre irrationnel ne s’écrit pas comme un quotient de deux entiers et possède une écriture décimale infinie non périodique.

Compléments

📌 Une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur est le produit d’une puissance de 2 par une puissance de 5.

• Les ensembles de nombres suivent la chaîne d’inclusion $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$, et $\mathbb{R}^*$ désigne les réels non nuls tandis que $\mathbb{R}^+$ désigne les réels positifs.

📊 Tableaux de synthèse

Intervalles et inégalités

Intervalle	Inégalité	Bornes
[a;b]	a ≤ x ≤ b	Deux bornes incluses
[a;b[	a ≤ x < b	a incluse, b exclue
]a;b]	a < x ≤ b	a exclue, b incluse
]a;b[	a < x < b	Deux bornes exclues