Quiz: Nombres réels et intervalles — 14 questions

1. Sur une droite graduée, comment exprime-t-on la distance entre les points d’abscisses a et b ?

A. d(a;b)=|b-a|

B. d(a;b)=|a+b|

C. d(a;b)=a+b

D. d(a;b)=b-a

Answer: (A)

Explanation

La distance entre les deux points est la longueur du segment qui les relie, donc elle vaut |b-a|. Cette valeur est toujours positive ou nulle, contrairement à la différence b-a qui peut être négative.

2. Les points A et B ont respectivement pour abscisses 2 et -5. Quelle est la distance AB ?

A. 3

B. 7

C. -3

D. -7

Answer: (B)

Explanation

On calcule AB=|b-a|=|-5-2|=|-7|=7. La distance ne peut pas être négative.

3. Que représente la valeur absolue d’un nombre réel x ?

A. La différence entre x et son opposé

B. La distance entre x et le point d’abscisse 1

C. La position de x sur la droite graduée

D. La distance entre x et l’origine d’abscisse 0

Answer: (D)

Explanation

|x| représente la distance entre le point d’abscisse x et l’origine O d’abscisse 0. Elle mesure donc un écart et non directement une position.

4. Quelle est la valeur de |-1,5| ?

A. 1,5

B. -0,5

C. -1,5

D. 0,5

Answer: (A)

Explanation

Comme -1,5 est négatif, sa valeur absolue vaut l’opposé de ce nombre : |-1,5|=-(-1,5)=1,5.

5. Que mesure l’expression |x-a| pour deux nombres réels a et x ?

A. La distance entre x et a

B. La différence signée entre x et a

C. Le produit de x par a

D. La somme de x et de a

Answer: (A)

Explanation

L’expression |x-a| est la distance entre les nombres x et a. La valeur absolue supprime le signe éventuel de la différence x-a.

6. Pour r≥0, quelle condition équivaut à |x-a|≤r ?

A. x∈[a-r;a-r]

B. x∈]a-r;a+r[

C. x∈[a-r;a+r]

D. x∈[a+r;+∞[

Answer: (C)

Explanation

La condition |x-a|≤r signifie que x se trouve à une distance au plus égale à r de a. Elle équivaut donc à l’intervalle fermé [a-r;a+r].

7. Quelle condition caractérise l’appartenance d’un réel x à l’intervalle fermé [a;b] ?

A. a<x<b

B. a<x≤b

C. a≤x<b

D. a≤x≤b

Answer: (D)

Explanation

Un réel appartient à [a;b] lorsqu'a≤x≤b. Les deux bornes a et b sont donc incluses.

8. Quelle inégalité correspond à l’intervalle ]a;b] ?

A. a<x<b

B. a≤x≤b

C. a<x≤b

D. a≤x<b

Answer: (C)

Explanation

L’intervalle ]a;b] contient les réels strictement supérieurs à a et inférieurs ou égaux à b, soit a<x≤b.

9. Que représente l’intersection I∩J de deux intervalles ?

A. Les réels appartenant à I ou à J

B. Les réels appartenant à I mais pas à J

C. Les bornes communes de I et de J

D. Les réels appartenant à I et à J

Answer: (D)

Explanation

L’intersection regroupe les réels qui appartiennent simultanément à I et à J. Elle conserve donc uniquement les éléments communs aux deux intervalles.

10. Pour I=[0;4] et J=[1;5], quelles sont leur intersection et leur réunion ?

A. I∩J=[0;1] et I∪J=[4;5]

B. I∩J=[0;5] et I∪J=[1;4]

C. I∩J=]1;4[ et I∪J=[0;5]

D. I∩J=[1;4] et I∪J=[0;5]

Answer: (D)

Explanation

Les éléments communs vont de 1 à 4, donc I∩J=[1;4]. En rassemblant les deux intervalles, on obtient I∪J=[0;5].

11. Lequel des nombres suivants appartient à l’ensemble des entiers naturels ℕ ?

A. 0

B. −1

C. −0,5

D. 1,5

Answer: (A)

Explanation

Les entiers naturels sont 0, 1, 2, 3, etc. Ainsi, 0 appartient à ℕ, tandis que les nombres négatifs et non entiers n’y appartiennent pas.

12. Quelle relation d’inclusion entre les ensembles de nombres est correcte ?

A. ℝ⊂ℚ⊂𝔻⊂ℤ⊂ℕ

B. ℕ⊂𝔻⊂ℤ⊂ℝ⊂ℚ

C. ℤ⊂ℕ⊂ℚ⊂𝔻⊂ℝ

D. ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ

Answer: (D)

Explanation

Les ensembles suivent la chaîne ℕ⊂ℤ⊂𝔻⊂ℚ⊂ℝ : les naturels sont inclus dans les relatifs, eux-mêmes inclus dans les décimaux, les rationnels puis les réels.

13. Laquelle de ces fractions irréductibles représente un nombre décimal ?

A. 13/21

B. 11/25

C. 9/14

D. 7/12

Answer: (B)

Explanation

Une fraction irréductible est décimale lorsque son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et 5. Comme 25=5², 11/25 est un nombre décimal.

14. Quelle distinction décrit correctement les nombres rationnels et irrationnels ?

A. Les rationnels sont toujours des entiers, tandis que les irrationnels sont toujours positifs

B. Les rationnels ont une écriture décimale infinie non périodique, contrairement aux irrationnels

C. Les rationnels sont des quotients de deux entiers, tandis que les irrationnels ne le sont pas

D. Les rationnels ont toujours une écriture décimale finie, tandis que les irrationnels ont une écriture périodique

Answer: (C)

Explanation

Un nombre rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers et possède une écriture décimale finie ou infinie périodique. Un irrationnel ne peut pas s’écrire comme un tel quotient et son écriture décimale est infinie non périodique.