Lernzettel: Notations et calculs de fonctions

📋 Plan du Cours

1. Écriture et notation des fonctions
2. Calcul d’images avec des exemples

📖 1. Écriture et notation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction f : Une fonction est une relation qui associe à chaque valeur d’entrée $x$ une valeur de sortie notée $f(x)$.
• Notation $f(x)$ : La notation $f(x)$ désigne la valeur obtenue quand on applique la fonction $f$ à l’entrée $x$.
• Écriture $f:x\mapsto\dots$ : L’écriture $f:x\mapsto\text{expression}$ indique la règle de calcul utilisée pour transformer $x$ en $f(x)$.

📝 Points essentiels

• Pour une entrée notée $x$, la sortie correspondante s’écrit $f(x)$, tandis que $f$ désigne la règle (la fonction) elle-même.
• Quand on écrit $f:x\mapsto\;4x^2+1$, cela signifie que $f(x)=4x^2+1$ pour toute valeur de $x$.
• Pour $f:x\mapsto\;2x+3$, on obtient systématiquement $f(x)=2x+3$ en remplaçant $x$ par la valeur d’entrée.
• Pour $g:x\mapsto\;x^2+5$, on a $g(x)=x^2+5$ et, en particulier, $g(a)=a^2+5$.

📖 2. Calcul d’images avec des exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Image de x : L’image de $x$ par une fonction est la valeur de sortie calculée à partir de la règle de la fonction.
• Calcul par substitution : Calculer une image revient à remplacer la variable $x$ par la valeur donnée dans l’expression de la fonction.
• Images avec $f(x)=4x^2+1$ : Le calcul d’image s’effectue directement à partir de l’expression $f(x)=4x^2+1$ en substituant l’entrée choisie.

📝 Points essentiels

• Avec $f(x)=4x^2+1$, calculer une image revient à calculer $4\,\big(x\big)^2+1$ après substitution de la valeur d’entrée dans l’expression.
• Avec $f(x)=2x+3$, le calcul d’image se fait en remplaçant $x$ par la valeur demandée puis en évaluant $2x+3$.
• Avec $g(x)=x^2+5$, l’image de $a$ s’écrit $g(a)=a^2+5$ en remplaçant $x$ par $a$.
• Quand une valeur de sortie est demandée, elle correspond à $f(x)$ (ou $g(x)$) et non à l’entrée $x$ elle-même.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la fonction $f$ (la règle) et sa valeur en un point $f(x)$ (le résultat numérique après substitution).
2. Oublier la substitution : calculer avec $x$ au lieu de remplacer $x$ par la valeur demandée.
3. Mélanger $f$ et $g$ : $f(x)$ suit sa propre règle (ex. $4x^2+1$ ou $2x+3$) tandis que $g(x)$ suit $x^2+5$.
4. Écrire $g(a)$ comme $a^2+5$ n’est correct que si la fonction est bien définie par $g:x\mapsto x^2+5$.
5. Prendre $x^2$ pour $x$: dans $4x^2+1$ et $x^2+5$, le carré porte sur $x$ avant d’ajouter la constante.
6. Utiliser une notation incohérente : une règle $f:x\mapsto\dots$ se lit comme une expression donnant $f(x)$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir lire $f(x)$ comme la sortie de la fonction $f$ pour une entrée $x$.
2. Savoir interpréter l’écriture $f:x\mapsto 4x^2+1$ et en déduire $f(x)=4x^2+1$.
3. Savoir interpréter l’écriture $f:x\mapsto 2x+3$ et en déduire $f(x)=2x+3$.
4. Savoir interpréter l’écriture $g:x\mapsto x^2+5$ et en déduire $g(x)=x^2+5$.
5. Calculer une image par substitution : remplacer $x$ par la valeur demandée dans l’expression de la fonction.
6. Écrire correctement $g(a)$ sous la forme $a^2+5$ quand $g(x)=x^2+5$.
7. Distinguer clairement l’entrée $x$ de la sortie $f(x)$ ou $g(x)$ dans une question.