Lernzettel: Notions clés en limites et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Limites usuelles
2. Nombre dérivé et tangente
3. Interprétation cinématique
4. Fonction dérivée et fonctions usuelles
5. Règles de dérivation
6. Composition et valeur absolue

📖 1. Limites usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en 0 : La limite en 0 décrit la valeur que prend une expression quand une variable h tend vers 0.
• Variable muette : Une variable muette est un symbole utilisé pour noter la limite, sans changer l’expression (par exemple h ou x).
• Taux de variation 1+ h3 : Une expression de type 1+h3 conserve la limite 1 quand la variable tend vers 0.

📝 Points essentiels

• On a lim(h→0) h^3=0 et lim(h→0) √h=0 (pour h→0 par valeurs réelles adaptées).
• On a lim(h→0) 1/(1+h)=1 mais lim(h→0, h>0) 1/h=+∞ et lim(h→0, h<0) 1/h=−∞.
• On a lim(h→0) sin(h)/h=1 et lim(h→0) (cos(h)−1)/h=0.
• Si x→0 alors lim(1+x^3)=1 (variable muette).

💡 Astuce mémo

sin(h)/h→1 et cos(h)−1 est plus “petit” donc /h donne 0.

📖 2. Nombre dérivé et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h quand h tend vers 0.
• Dérivabilité en a : Une fonction est dérivable en a si le quotient de taux de variation admet une limite réelle quand h tend vers 0.
• Tangente en A : La tangente en A est la droite passant par A dont la pente vaut le nombre dérivé f'(a).

📝 Points essentiels

• Écrire f'(a)=lim(h→0)[f(a+h)−f(a)]/h et vérifier que la limite existe.
• Tangente en a : y=f(a)+f'(a)(x−a) et elle passe par (a,f(a)).
• Exemple : pour f(x)=x^2, f'(a)=2a (donc tangente : y=a^2+2a(x−a)).
• Exemple : si la tangente en A(1;2) a pour pente 3, alors y=3x−1.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente limite, tangente = droite de pente f'(a) passant par le point.

📖 3. Interprétation cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse instantanée : La vitesse instantanée correspond au taux de variation de la position quand l’instant varie.
• Position f(t) : La position d’un mobile à l’instant t est notée f(t).
• Temps t : Le temps sert de variable : la dérivée par rapport au temps donne une information cinématique.

📝 Points essentiels

• Pour un mouvement rectiligne, si f(t) est la position, alors f'(t) est la vitesse instantanée.

💡 Astuce mémo

Position dérivée en temps → vitesse.

📖 4. Fonction dérivée et fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x la valeur f'(x) lorsque f est dérivable au point considéré.
• Notations Leibniz Newton : Les notations df/dx et (d/dx) expriment la dérivée comme rapport entre variations infinitésimales.
• Dérivées des fonctions usuelles : Les fonctions usuelles ont des règles de dérivation prêtes à utiliser (linéaires, puissances, racine, inverse, etc.).

📝 Points essentiels

• Si f(x)=x^2 alors f'(x)=2x et si f(x)=x^n alors on obtient des puissances réduites (cas admis dans le cours).
• Pour √x : on a dérivabilité seulement pour x>0 et la dérivée vaut 1/(2√x).
• Pour 1/x (x≠0) : la dérivée vaut −1/x^2.
• Tangente exemple : pour f(x)=x^3, f'(2)=3·2^2=12 et y=f(2)+f'(2)(x−2).

💡 Astuce mémo

Règles flash : (x^n)'=n x^{n−1}, (√x)'=1/(2√x), (1/x)'=−1/x^2.

📖 5. Règles de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de fonctions : La dérivée d’une somme s’obtient en dérivant chaque terme séparément.
• Produit de fonctions : La dérivée d’un produit combine dérivées et valeurs selon la règle du produit.
• Quotient : La dérivée d’un quotient s’obtient à partir d’une combinaison de la dérivée du numérateur et du dénominateur.

📝 Points essentiels

• Règle somme : (u+v)'=u'+v'.
• Règle produit : (uv)'=u'v+uv'.
• Règle inverse : si v ne s’annule pas, (1/v)'=−v'/(v^2) et donc (u/v)'= (u'v−uv')/v^2.
• Complétion : pour u(x)=g(ax+b), on a (g(ax+b))'=a g'(ax+b) (si ax+b appartient au domaine).

💡 Astuce mémo

Somme→somme, Produit→u'v+uv', Quotient→(u'v−uv')/v^2.

📖 6. Composition et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition ax+b : La composition g(ax+b) remplace l’entrée de g par une expression affine.
• Valeur absolue |x| : La valeur absolue |x| vaut x si x≥0 et −x sinon, donc elle reste positive.
• Non-dérivabilité en 0 : La valeur absolue n’est pas dérivable en 0 car les pentes à gauche et à droite diffèrent.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=g(ax+b), f'(x)=a g'(ax+b) sur les x tels que ax+b reste dans le domaine de g.
• |x| : à gauche de 0 la pente vaut −1 et à droite la pente vaut 1.
• Comme [|h|−|0|]/h = −1 si h<0 et =1 si h>0, la limite des taux de variation en 0 n’est pas unique donc pas dérivable.
• La fonction valeur absolue est dérivable sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[ (mais le cours insiste sur l’échec en 0).

💡 Astuce mémo

|x| : pente −1 avant 0, pente +1 après 0 → cassure en 0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la limite d’une fraction selon le signe : lim(h→0, h>0) 1/h = +∞ mais lim(h→0, h<0) 1/h = −∞.
2. Oublier que √x n’est pas dérivable en 0 dans ce cours : pour la formule 1/(2√x), on travaille avec x>0.
3. Croire que f'(a) existe sans vérifier la limite du quotient [f(a+h)−f(a)]/h quand h→0.
4. Se tromper de tangente : confondre la pente f'(a) avec le coefficient d’une autre droite (la tangente doit passer par (a,f(a))).
5. Appliquer la règle (g(ax+b))'=a g'(ax+b) même si ax+b n’est pas dans le domaine de g.
6. Penser que |x| est dérivable en 0 parce que |0|=0 : la cassure vient de pentes de signes opposés.
7. Confondre dérivation somme/produit/quoitient : mélanger les formules mène à des erreurs immédiates de tangente.

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier et calculer des limites usuelles en 0 vues dans le cours (h^3→0, √h→0, 1/(1+h)→1, sin(h)/h→1, cos(h)−1 sur h→0, 1/h vers ±∞ selon le signe).
2. Savoir définir f'(a) comme limite du taux de variation [f(a+h)−f(a)]/h quand h→0 et en déduire la dérivabilité en a.
3. Pouvoir écrire l’équation de la tangente y=f(a)+f'(a)(x−a) et vérifier le passage par (a,f(a)).
4. Savoir interpréter f'(t) comme vitesse instantanée pour une position f(t) en mouvement rectiligne.
5. Savoir définir la fonction dérivée f' et utiliser une notation de dérivée (df/dx) sans changer le sens.
6. Savoir utiliser les dérivées des fonctions usuelles données : polynômes (règle de puissance), √x (pour x>0), 1/x (x≠0), et dérivée des fonctions linéaires.
7. Savoir appliquer (u+v)'=u'+v' pour des sommes et reconnaître quand dériver terme à terme est valide.
8. Savoir appliquer (uv)'=u'v+uv' et calculer proprement u' et v'.
9. Savoir appliquer (1/v)'=−v'/(v^2) et la règle du quotient (u/v)'=(u'v−uv')/v^2 quand v ne s’annule pas.
10. Savoir dériver une composition de type g(ax+b) : f'(x)=a g'(ax+b).
11. Savoir donner la définition de |x| et conclure explicitement que |x| n’est pas dérivable en 0 à cause de pentes −1 et +1.