Lernzettel: Notions fondamentales en théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Définitions et sous-ensembles
2. Écritures et notations d’ensembles
3. Ensemble des parties et égalité
4. Intersection, réunion et différence
5. Complémentaire et lois de Morgan
6. Produit cartésien et familles d’ensembles

📖 1. Définitions et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d’objets réunis par un critère commun.
• Élément x de E : Dire que x est un élément de E signifie que x appartient à l’ensemble, noté $x \in E$.
• Ensemble vide : L’ensemble vide est l’ensemble qui ne contient aucun élément, noté $\varnothing$ ou $\{\}$.
• Sous-ensemble A inclus dans E : Un sous-ensemble (ou une partie) A de E est un ensemble dont chaque élément appartient aussi à E, noté $A\subset E$.
• Inclusion stricte : Une inclusion est dite stricte quand $A$ est inclus dans E sans être égal à E, ce qui s’écrit $A\subsetneq E$.

📝 Points essentiels

• $x\in E$ signifie que l’objet x appartient à E, tandis que $x\notin E$ signifie qu’il n’y appartient pas.
• $\varnothing$ est l’ensemble sans éléments, et c’est l’ensemble vide correspondant aux objets inexistants.
• Si tous les éléments de A appartiennent à E alors $A\subset E$, et on note $A\nsubseteq E$ quand ce n’est pas le cas.
• L’inclusion est stricte quand $A\subset E$ et $A\neq E$, ce qui revient à $E\nsubseteq A$ et s’écrit aussi $A\subsetneq E$.
• On a toujours $\varnothing\subset E$ et $E\subset E$.

📖 2. Écritures et notations d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture en extension : L’écriture en extension décrit un ensemble en listant explicitement tous ses éléments, comme $\{a,b,c\}$.
• Écriture en compréhension : L’écriture en compréhension décrit un ensemble à partir d’une propriété $P(x)$, en prenant tous les x qui vérifient $P(x)$.
• Intervalle de $\mathbb{R}$ : Un intervalle est l’ensemble de réels défini par des inégalités, par exemple $]2;\pi] = \{x\in\mathbb{R}\mid 2<x\le\pi\}$.
• Ensemble des multiples n$\mathbb{Z}$ : Pour un entier naturel n, $n\mathbb{Z}$ est l’ensemble des multiples de n, donc $n\mathbb{Z}=\{kn\mid k\in\mathbb{Z}\}$.
• Ensemble $\pi\mathbb{Z}$ : $\pi\mathbb{Z}$ désigne l’ensemble des réels de la forme $k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$.

📝 Points essentiels

• En compréhension, $\{x\mid P(x)\}$ regroupe tous les x tels que la propriété $P(x)$ est vraie.
• Pour préciser le domaine, on écrit $\{x\in E\mid P(x)\}$ pour imposer que x appartient déjà à E.
• Si $D$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ et $f$ est définie sur $D$, alors $\{f(x)\mid x\in D\}$ est l’ensemble des valeurs prises par $f$ sur $D$.
• Les entiers successifs pour $p\le n$ s’écrivent $[p,n]=\{k\in\mathbb{Z}\mid p\le k\le n\}$ en incluant les bornes.
• Les écritures données pour $\{1;2;\cdots; n\}$ utilisent $n\in\mathbb{N}^*$ pour décrire des listes finies d’entiers.

📖 3. Ensemble des parties et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ : L’ensemble des parties $\mathcal{P}(E)$ est l’ensemble de tous les sous-ensembles de E.
• Appartenance à $\mathcal{P}(E)$ : Dire que $A\in\mathcal{P}(E)$ signifie que A est inclus dans E, donc $A\subset E$.
• Égalité de deux ensembles : Deux ensembles sont égaux quand ils ont exactement les mêmes éléments.

📝 Points essentiels

• Pour tout ensemble E, $\mathcal{P}(E)$ contient toujours $E$ et $\varnothing$.
• On a l’équivalence $A\in\mathcal{P}(E)\Leftrightarrow A\subset E$.
• $A=B$ équivaut à $\forall x,\ x\in A\Leftrightarrow x\in B$.
• $A=B$ équivaut aussi à la double inclusion $A\subset B$ et $B\subset A$.
• Si $E=\{a,b,c\}$ alors $\mathcal{P}(E)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},E\}$.

📖 4. Intersection, réunion et différence

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection $A\cap B$ : L’intersection $A\cap B$ est l’ensemble des éléments communs à A et à B.
• Réunion $A\cup B$ : La réunion $A\cup B$ est l’ensemble des éléments présents dans A ou présents dans B.
• Différence $A\setminus B$ : La différence $A\setminus B$ est l’ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.

📝 Points essentiels

• Par définition, $A\cap B = \{x\mid x\in A \text{ et } x\in B\}$.
• A et B sont disjoints quand $A\cap B=\varnothing$.
• Par définition, $A\cup B = \{x\mid x\in A \text{ ou } x\in B\}$.
• On a l’inclusion $A\cap B\subset A\subset A\cup B$.
• La différence s’écrit $A\setminus B = \{x\in A\mid x\notin B\}$.
• On a aussi $A\setminus B = A\setminus (A\cap B)$.

📖 5. Complémentaire et lois de Morgan

🔑 Notions clés & Définitions

• Complémentaire de A dans E : Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.
• Complément A̅ : Le complémentaire peut aussi être noté $\overline{A}$ quand le contexte donne clairement E.

📝 Points essentiels

• Si $A\subset E$, alors le complémentaire s’écrit $E\setminus A = \{x\in E\mid x\notin A\}$.
• On a $A\cap \overline{A}=\varnothing$ et $E = A\cup \overline{A}$.
• On a aussi $\overline{\overline{A}}=A$.
• Les lois de Morgan s’écrivent $A\cup B = \overline{A}\cap \overline{B}$ et $A\cap B = \overline{A}\cup \overline{B}$.
• La remarque donnée relie la différence au complément : $A\setminus B = C_A\cup B = C_A\,(A\cap B)$.

📖 6. Produit cartésien et familles d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien $A\times B$ : Le produit cartésien $A\times B$ est l’ensemble des couples $(x,y)$ avec x dans A et y dans B.
• Puissance $A^n$ : Pour $n\ge 1$, $A^n$ désigne le produit cartésien de $n$ copies de A, donc $A^n=\prod_{i=1}^n A$.
• Famille finie d’ensembles : Une famille finie $\big(A_i\big)_{i\in[1,n]}$ est une suite de sous-ensembles indexés de 1 à n.
• Réunion d’une famille : La réunion d’une famille $\big(A_i\big)$ est l’ensemble des x appartenant à au moins un $A_i$.
• Intersection d’une famille : L’intersection d’une famille $\big(A_i\big)$ est l’ensemble des x appartenant à tous les $A_i$.

📝 Points essentiels

• $A\times B = \{(x,y)\mid x\in A\text{ et } y\in B\}$ et si $A=B$ on note $A^2=A\times A$.
• Pour $n\ge 2$, si on a $A_1,\dots,A_n$, alors $\big(A_i\big)_{i\in[1,n]}$ est une famille de sous-ensembles de E.
• La réunion s’écrit $\bigcup_{i=1}^n A_i = \{x\in E\mid \exists i\in[1,n],\ x\in A_i\}$.
• L’intersection s’écrit $\bigcap_{i=1}^n A_i = \{x\in E\mid \forall i\in[1,n],\ x\in A_i\}$.
• Les lois de Morgan généralisées donnent $\bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcap_{i=1}^n \overline{A_i}$ et $\bigcap_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^n \overline{A_i}$.
• Le produit fini $A_1\times\cdots\times A_n$ est $\{(x_1,\dots,x_n)\mid \forall i\in[1,n],\ x_i\in A_i\}$, et $A_1\times\cdots\times A_n=\prod_{i=1}^n A_i$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $A\subset E$ (inclusion) avec $A\subsetneq E$ (inclusion stricte) peut faire perdre l’égalité autorisée en inclusion simple.
2. Mélanger les écritures : $\{x\mid P(x)\}$ ne restreint pas le domaine, tandis que $\{x\in E\mid P(x)\}$ impose explicitement $x\in E$.
3. Oublier que $\mathcal{P}(E)$ contient toujours $E$ et $\varnothing$ conduit à des réponses incomplètes sur les sous-ensembles.
4. Prendre $A\setminus B$ pour une intersection : la différence contient seulement les éléments de A qui ne sont pas dans B.
5. Se tromper de De Morgan : dans $A\cup B = \overline{A}\cap \overline{B}$, la réunion devient une intersection après complémentations.
6. Oublier le cadre : le complémentaire $E\setminus A$ est défini ici quand $A\subset E$, pas pour un ensemble arbitraire sans univers précisé.
7. Rater le sens des quantificateurs pour une famille : la réunion utilise $\exists i$ et l’intersection utilise $\forall i$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire correctement la notion d’appartenance $x\in E$ et la non-appartenance $x\notin E$.
2. Savoir reconnaître et écrire l’ensemble vide $\varnothing$ ou $\{\}$.
3. Maîtriser les notations $A\subset E$, $A\nsubseteq E$ et $A\subsetneq E$.
4. Savoir passer de l’écriture en extension à l’écriture en compréhension quand c’est demandé.
5. Savoir utiliser la forme $\{x\in E\mid P(x)\}$ pour restreindre le domaine des x.
6. Savoir définir $\mathcal{P}(E)$ et donner la condition d’appartenance $A\in\mathcal{P}(E)\Leftrightarrow A\subset E$.
7. Maîtriser l’égalité : conditions $A=B\Leftrightarrow (\forall x,\ x\in A\Leftrightarrow x\in B)$ et $A\subset B$ plus $B\subset A$.
8. Savoir calculer et caractériser $A\cap B$, $A\cup B$ et $A\setminus B$ avec leurs définitions en compréhension.
9. Savoir déterminer si deux ensembles sont disjoints via $A\cap B=\varnothing$.
10. Savoir définir le complémentaire de A dans E et utiliser $A\cap \overline{A}=\varnothing$ et $E=A\cup \overline{A}$.
11. Savoir appliquer les lois de Morgan à deux ensembles et aux familles finies.
12. Savoir écrire et interpréter le produit cartésien $A\times B$ et le produit fini $\prod_{i=1}^n A_i$.